本文的主要研究内容为求解偏微分方程的间断有限元方法的最优误差估计性质。其中研究的方程为在多个领域有广泛应用的双曲守恒律方程和线性Korteweg-de Vries方程。本文中所研究的间断有限元方法是一类用于求解偏微分方程的高精度数值算法,其优点在于对光滑解问题所得的数值解能以任意高阶逼近真解,同时对于间断解问题所得的数值解能够准确且清晰地捕捉真解的间断。因其优秀性质,间断有限元方法已经被广泛应用于各领域的偏微分方程数值求解问题中。数值流通量是间断有限元方法数值格式中一个十分重要的组成部分,而本文中间断有限元方法所使用的流通量为一般数值流通量。相比于传统的迎风数值流通量而言,一般数值流通量能为间断有限元方法的数值格式提供更大的灵活性,并且使数值格式有可调整的数值粘性用以适应求解不同类型的偏微分方程。由于一般流通量包含单元边界点处两侧数值解的值,所以针对使用该流通量的间断有限元方法的收敛性研究比较复杂,这一点尤其体现在误差分析中所需要使用的投影上。通过构造合适的投影以及分析其相关性质,本文得到了间断有限元方法在求解各类方程时的最优误差估计性质。论文的研究内容主要包括以下几个方面:首先,针对变系数线性双曲方程提出了使用偏迎风数值流通量（即一般数值流通量）的间断有限元方法,并且研究了方法的最优误差估计性质。由于变系数方程的风向可变,所以传统的全局投影由于存在性不恒成立而不适合被用于误差估计的分析。基于变系数方程的特性,本文提出了分片全局投影。此投影在适当的单元边界处解除了全局耦合性质,所以其性质使该投影适合被用于分析此类问题。借助于分片全局投影的特性,最终可以分析间断有限元方法的最优误差估计性质。其次,针对一维标量非线性双曲守恒律方程提出了使用一般Local Lax-Friedrichs流通量的间断有限元方法,并且研究了方法的最优误差估计性质。在非线性方程情况下,误差估计中使用了大量的线性化技术来处理非线性项。由于一般Local Lax-Friedrichs流通量同时包括单元边界点两侧数值解的信息,所以误差方程中经过线性化处理的各项也更加复杂。此外,在分析中需要使用合理的先验假设条件,再配合以分片全局投影则最终可以分析方法的最优误差估计性质。最后,针对线性Korteweg-de Vries方程提出了使用一般流通量的局部间断有限元方法,并且研究了方法的最优误差估计性质。其中,数值格式中不同部分的一般流通量其参数互相独立,这有效地提高了数值格式的灵活性,但同时也增加了稳定性分析难度。此外,提出了一种新的数值初始条件构造方法,该数值初始条件不仅满足数值格式的要求,而且满足初始时刻的最优误差估计条件。结合稳定性分析的结论和数值初始条件,同时利用全局投影则可以分析局部间断有限元方法的最优误差估计性质。对于以上的各方面工作,本文给出了大量的数值实验。数值实验的结果与理论分析的结论相符合,证明了理论分析结论的有效性。