本文主要讨论了多圆盘上的Hilbert模，及其相关的Toeplitz分析和几何分析。 Fredholm性和Fredholm指标在经典的分析中占据着非常重要的地位。在研究算子组时，对应的Fredholm性和Fredholm指标就通过Koszul复形被自然的定义出来。本文的第一部分主要是刻画由两个等距算子组成的算子对的Fredholm性和Fredholm指标。众所周知，亏格算子在Nagy-Foias的膨胀理论中起着基本的作用。利用再生核理论，K.Guo研究了解析Hilbert模的亏格算子，并发现亏格算子抓住了子模的关键信息。本文把解析Hilbert模的亏格算子推广到等距算子组的情形。利用亏格算子理论，我们研究了等距算子对的Fredholm性和Fredholm指标，并发现，等距算子对的Fredholm性和对应的亏格算子的紧性有着密切的联系。 本质正规Hilbert模是Hilbert模中重要的一类。对于Hardy模H2(Dd)及其非零子模，容易验证，它们的模结构都是由无穷重等距所诱导，从而不是本质正规的。于是，问题的焦点是决定它的商模是否本质正规。R.Douglas提出下列问题，什么时候H2(Dd)的一个商模是本质正规的。在d=2的情况，R.Douglas和G.Misra发现H2(D2)/[(z-w)2]是本质正规的，而H2(D2)/[z2]不是，这些都是齐次商模。本文完全刻画了齐次商模的本质正规性。我们发现，齐次商模的本质正规性和子模的零簇以及双圆盘的几何结构有着密切的联系。其结果以及研究方法完全不同于单位球上Hilbert模的研究。