本论文研究常微分方程初值问题Runge-Kutta (RK)和Runge-Kutta-Nystrom(RKN)方法的优化改进,优化的思想有两类：一是方法自身的优化,得到极小化误差常数的RK方法；二是面向问题结构特征的优化,得到求解振动问题的相拟合与振幅拟合的RK型方法、RKN型方法、混合两步型方法以及修正辛RKN型方法.一阶常微分方程初值问题最常用的一类数值方法是RK方法,理论分析与数值实验表明,对给的的阶,熟知的RK方法并非是最优的,将误差常数(见第二章)极小化,可提高方法的精确程度.在应用科学与工程中存在大量的振动问题,传统的数值方法在求解振动问题时,计算效果不够理想.针对振动问题的结构特征,已经出现了两类数值方法：常系数和变系数.本论文考虑更新公式中权系数依赖于振动主频率与步长乘积的RK(N)型单步法与混合两步法,应用相拟合与振幅拟合技术,得到求解振动问题的几类优化算法.本论文分为六章.第一章简要地介绍了求解一阶常微分方程初值问题的Runge-Kutta方法、求解二阶常微分方程初值问题的Runge-Kutta-Nystrom方法以及求解Hamilton系统的辛方法；第二章在Buthcher根树及B-级数的基础上引入了误差常数的概念并构造了极小化误差常数的4级4阶的RK方法,数值实验验证了新方法相比于传统方法的优势；第三章引入相误差与相拟合、耗散误差与振幅拟合的概念,以几个经典RK方法为原型,针对一阶振动问题,构造了相拟合及振幅拟合的RK型方法；第四章针对二阶振动问题研究了相拟合及振幅拟合的RKN型方法,第五章对二阶振动问题,讨论了相拟合及振幅拟合的Numerov型混合两步法；第六章,针对振动Hamilton问题,考虑了修正的RKN方法,推导了辛条件,并在此基础上构造了相拟合的修正辛RKN方法.在第二章至第六章中,相拟合与振幅拟合的新方法与其原型方法相比,代数阶有所下降,但数值实验表明,无论是与原型方法相比,还是与现有文献中的其它一些高性能方法相比,拟合方法都具有更高的计算效率.