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矩阵的Drazin逆在许多领域都有重要的应用,它是矩阵广义逆理论中一个非常重要的内容。1979年C.D.Meyers提出了分块矩阵[A B C D]的。Drazin逆表达式open问题。1983年,Campbell在求微分方程的解时,提出了形如[A B C D]的Drazin逆表达式open问题。由于问题的难度和计算方法的局限性,此问题至今尚未完全解决。近些年来,学者们仅在一些特殊条件下给出了分块矩阵[A B C D]群逆和Drazin逆的表达式。
设C是复数域,Cm×n表示C上所有m×n阶矩阵的集合,矩阵A的秩记为rank(A)。设矩阵A∈Cn×n,若X∈Cn×n满足矩阵方程AkXA=Ak,XAX=X,AX=XA则称X为A的Drazin逆,记作X=AD,其中k是使rank(Ak+1=rank(Ak)成立的最小的非负整数,称为矩阵A的指标,当Ind(A)≤1时,称X为A的群逆,记作X=A＃。
本文在第1章简要给出了矩阵广义逆的发展概况及研究意义,第2章介绍了广义逆理论的基础知识。最后在第3、4章和第5章中给出了本文的主要结果,主要结果为:1.设分块矩阵M=[A B C D](A,D是方阵)的广义Schur补S=D-CADB=0且满足下列之一:
(1)BCAπ,r次幂零矩阵,(I+BC(AD)2)ABCAπ=0;
(2)CAπBC=0,AAπBC=0:
(3)CAπBCAπ=0,(A+BCAD)BCAπ=0;
(4)AπBC是p次幂零矩阵,(A+ADBC)AπBC=0;
(5)ADBC=0,AAπB=0,的情况下给出分块矩阵M=[A B C D](A,D是方阵)的Drazin逆表达式。
2.给出了体上分块矩阵M=[A*A A B0]的群逆存在充分必要条件及其确切表达式。
3.给出了分块矩阵M=[A B C D]满足DA=0,DB=0或CD=0,BD=0条件下的Drazin逆表达式的新证明。
4.给出了分块矩阵M=[A B C D]满足BC=0,BDC,BD2=0的条件下Drazin逆表达式的新证明。