本文主要研究了分数阶微积分在电渗流和激光加热问题中的应用。文章共包含五个部分。第一章是绪论部分,简要介绍了分数阶微积分、积分变换方法、电渗流、分数阶广义二阶流体和热传导模型等基础知识。随着微流控学和纳流控学的发展,微尺度和纳尺度流动已引起国内外相关领域的极大关注。到目前为止,关于微通道和纳米通道中电渗流的理论研究、实验研究和模拟研究也数不胜数。由于芯片实验室设备通常用于分析体液,如血液、唾液和DNA溶液,而这些液体不能被当作牛顿流体,因此研究非牛顿流体的电渗流有非常重要的实际意义。近年来,分数阶微积分在描述非牛顿流体流动方面取得很大成功,具有分数阶导数的本构方程在描述非牛顿流体的粘弹性行为方面也很灵活。修正的二阶流体是描述剪切稀化、剪切稠化和法向正应力差最简便的本构模型,分数阶广义二阶流体也被广泛的应用于模拟生物液体的非牛顿行为,例如血液。因此研究分数阶广义二阶流体的电渗流对于非牛顿流体流动具有非常重要的参考价值。鉴于上述分析,我们研究了分数阶广义二阶流体的瞬态电渗滑移流动。第二章研究了在压力和外加电场力的共同作用下,两平行板微通道中分数阶广义二阶流体的瞬态电渗滑移流动。利用Debye-Huckel近似和积分变换的方法得到了电渗流动的解析解。牛顿流体、经典二阶流体的解析解作为分数阶广义二阶流体的特解也在本部分给出。这些速度分布的解都可以分为稳定部分和非稳定部分。通过画出相关参数对速度分布的影响图,讨论了滑移边界、流体流变性、电渗透、压力梯度对速度分布的影响。最后,比较了相同条件下,牛顿流体和分数阶广义二阶流体的速度和流量变化,经典二阶流体和分数阶广义二阶流体的速度和流量变化,得到了一些有意义的结果。第三章解析和数值地研究了在非对称Zeta电势和边界滑移条件下,分数阶广义二阶流体在微通道中的非定常电渗滑移流动。利用Debye-Huckel近似,Laplace和有限Fourier正余弦积分变换得到了速度分布的解析解。数值解由有限差分方法给出,通过图像对比数值解与解析解,验证了数值方法的精确性和有效性。最后,我们讨论了相关参数对速度分布的影响。我们的研究结果对于研究非牛顿流体流动具有非常重要的参考价值。第四章我们研究了短脉冲激光加热有限长介质的非傅里叶热传导行为。由于双相延迟热传导模型与实验数据的拟合程度更好。因此,双相延迟模型在短脉冲激光加热领域中的应用更广泛,利用分数阶导数代替整数阶导数建立了时间分数阶双相延迟热传导方程。利用Laplace变换和有限Fourier余弦变换,得到了变换后的温度分布表达式。利用数值逆Laplace变换,研究了相关参数对温度分布的影响及热信号在介质中的传播方式。我们的研究结果将对深刻探究脉冲激光加热问题及其他非傅立叶热传导问题提供借鉴。最后,第五章总结了本文的主要研究结果,同时对分数阶微积分在相关领域的应用前景进行了展望。