在三维几何研究领域,几何表示是重要的研究课题。对三维几何对象来说,不同的三维表示可能适合不同的任务情形;反过来,一些特定的任务也需要提出有针对性的三维几何表示。首先,对于单个的物体,如何表示其三维形状有多种方式,如网格、点云、体素、多视角图像、深度图像等等。其次,对于有潜在对应关系的多个三维物体,如何表示其间的形变使其合理配准是一个重要的问题,这对于很多衍生任务都很关键,如跟踪、重建等。针对上述的单一物体和多物体间配准两种情形,本文提出了一系列适合深度神经网络的三维几何表示,主要包含以下几个方面:·基于神经场的点云局部隐式表示;·基于径向基函数的局部形状表示;·基于逐点加权刚性形变的非刚性几何形变表示;·基于可微形变节点图的非刚性形变表示。除此以外,本文也在相应的任务上进行实验,探讨了所提出的上述几种几何表示的优越性。基于神经场的点云局部隐式表示:传统点云表示只将每个点表示为三维空间中的一个位置或局部平面。本文提出了一种基于神经场的点云局部隐式表示,使得其中每个点通过神经场表示一个局部连续的几何形状。该表示是用包含丰富几何细节的曲面训练的,这样训练出来的模型对各种形状都有足够的表达能力。具体来说,本文提取点上的深度局部特征,并通过二维参数域和三维局部小块之间的局部同构来构建神经场。最后,局部神经场被整合在一起形成全局曲面。实验结果表明,神经点云具有强大的表达能力、鲁棒性和泛化性。据此,本文可以以任意分辨率对点云进行重采样,并且优于之前的点云上采样方法。基于径向基函数的局部形状表示:将传统三维几何表示用于深度学习需要面临一些挑战,其中非规整性和高复杂度是重要的困难,这在三维模型本身具有丰富几何细节的情况下尤其明显。本文关注三维模型的细节恢复问题,使得在低分辨率模型中不能很好地表示的几何细节可以在生成的高质量模型中恢复并很好地表示。为此,本文提出了基于径向基函数的局部形状表示,用隐式表示和分治策略分别克服非规整性和高复杂度。为了训练,本文构建了一个由真实和合成扫描模型组成的数据集。实验表明,本文提出的表示具有良好的效果和泛化性。基于逐点加权刚性形变的非刚性几何形变表示:非刚性配准问题由于其高自由度,在之前很难以端到端的方式在神经网络中进行学习。为此,本文提出了一种新的形变表示,用刚性变换的逐点组合来拟合非刚性变换。这不仅使解空间受到很好的约束,而且能够使用循环框架迭代求解,从而大大降低了学习的难度。除此以外,没有足够的带标签数据是非刚性配准的另一大难点,为此本文引入了一个可微的无监督损失函数,将三维曲面投影到多视角二维图像上来衡量三维形状相似性,进行无监督端到端的训练,并取得优于以前的方法的效果。基于可微形变节点图的非刚性形变表示:传统的非刚性配准方法往往通过优化的方式迭代地更新对应关系和非刚性形变。在算法流程中,对应关系的构造和迭代方式是结果的关键,而传统优化策略可能会导致局部最优。本文参照传统优化方法中的模式,提出一种可以在神经网络中使用的基于可微形变节点图的非刚性形变表示,使其端到端可训练。具体来说,本文设计了一个神经网络来预测对应关系及置信度,用可微节点图优化形变,再采用基于门循环单元的循环网络进行迭代细化,最终再预测顶点级别的偏移量,做到精细配准。该模型可以自监督训练,并取得了优于之前方法的效果。综上,本文提出四种不同的几何表示方式,他们都是适用于深度几何学习的,而且在相应的任务上都取得了相较于之前的方法更加优越的效果。具体的相应任务包括:三维点云的上采样、三维模型的几何细节恢复、三维曲面的非刚性配准。