发现和研究新奇的量子相和量子相变是凝聚态物理学研究的中心课题之一。近年来,由于展现了丰富的量子现象,量子无序系统、拓扑物理和量子淬火动力学吸引了广泛的研究兴趣。在这些课题的理论研究中,一般把实际的物理体系抽象为紧束缚格点模型,通过调节模型中的参数,如在位势的强度和量子淬火的参数等,从而发现系统中蕴含的物理规律。本论文主要研究了若干准周期和平带格点模型中的量子相变,具体的内容包括:首先研究了两种非对角的缓慢变化的准周期模型,给出了能量依赖的迁移率边的解析表达式,其次研究了一维拓扑超导体和一维拓扑绝缘体受准周期调制项驱动而发生的拓扑相变,给出了拓扑相变点的数值结果,最后研究了一维平带模型中的淬火动力学,给出了发生动力学量子相变的临界时间的解析表达式并给出了一个Loschmidt回波永远为1的非平庸例子。在第一章我们主要介绍量子无序系统和平带网络的相关物理背景和知识。主要包括:安德森局域化的概念、标度理论、一维准周期系统(Aubry-André模型)、两个精确可解的存在迁移率边的准周期模型和平带网络。在第二章我们研究了公度调制的非对角项对缓慢变化的准周期模型中迁移率边的影响。我们运用半经典的WKB技术,解析的给出了迁移率边的表达式,当非公度势强度小于某一临界值时,系统的能谱中存在四个迁移率边。我们同时数值计算了模型的逆参与率(IPR)、态密度和李雅普诺夫指数,通过对比,我们发现解析结果和数值结果符合得很好。在第三章我们研究了非公度调制的非对角模型中的迁移率边。当只有系统的非对角项是非公度调制而对角项是常数时,无论在位势的强度多大,系统能谱中迁移率边一直存在。而当系统的非对角项和对角项都是非公度调制时,能谱中迁移率边位置的变化出现了奇异点。这些有趣的现象不同于以往广泛研究的由在位势(对角项)无序驱动的模型。在第四章我们主要研究了一维拓扑超导体(一维p波超导链)受在位势无序驱动而发生的拓扑相变。我们考虑了缓慢变化的准周期无序,在这种无序格点系统中一般存在迁移率边。我们发现随着无序强度的增强,系统从拓扑超导相转变为拓扑非平庸的绝缘体相,最后转变为拓扑平庸的绝缘体相。然后,我们运用转移矩阵方法数值的检验了系统的拓扑相变点。此外,我们发现当无序强度小于某个临界阈值时,系统的能谱中具有四个迁移率边,而无序强度大于这个临界阈值时,系统的所有本征态都变为局域态。在第五章我们主要研究了一维拓扑绝缘体(Su–Schriffer–Heeger模型)受跃迁无序驱动而发生的拓扑相变。我们考虑了两种无序位形,一种是Aubry-André准周期无序,另一种是缓慢变化的准周期无序。我们运用转移矩阵方法数值的计算了系统的拓扑相变点,发现在这两种无序影响下,系统在接近拓扑相变点的行为各自不同。前者发生拓扑相变时的相变点在有限尺寸下能很好的确定,而后者发生拓扑相变的相变点在有限尺寸下不能很好确定,需要做有限尺寸分析进行数值外插来确定相变点。在第六章我们主要研究了在十字型平带网络中量子淬火后初态的含时演化行为。我们发现在一定的淬火方案下,即使淬火不跨越量子临界点,系统也可以发生动力学量子相变。而在以往的研究中,发生动力学量子相变需要淬火跨越量子临界点。我们给出了发生动力学量子相变的临界时间的解析表达式,并数值地计算了系统的含时演化,发现解析结果和数值结果符合得很好。我们同时了研究了相反的淬火方案,发现了一种有趣的现象:即便淬火前的初态不是淬火后的哈密顿量的本征态,含时演化的态恢复到初态的概率(Loschmidt回波)也永远是1,这是以前没有报道过的新的现象。总之,本论文的研究使学术界对低维准周期和平带格点模型中的新奇量子相和量子相变有了进一步的认识和理解。这些研究对量子无序系统,拓扑物理和量子淬火动力学等学科和领域的发展具有一定的参考价值。