在实际工程结构中，由疲劳引起的断裂是结构失效的主要形式之一，造成了很多的重大事故。为了防止事故发生，减少损失，需要对疲劳裂纹的扩展进行研究。目前对于裂纹扩展的研究主要有实验方法和数值分析方法，实验方法费时费力且效率比较低，而数值分析方法却十分方便高效。本文基于边界元理论，对二维和三维裂纹扩展轨迹进行了数值模拟。论文的主要工作有：(1)基于边界元理论，采用边界元子域法沿裂纹面分域，分别采用线性单元和二次单元对求解区域边界进行离散，依据最大应力准则判断裂纹扩展方向，使用Fortran语言编写程序实现二维平面裂纹的扩展轨迹模拟；(2)由于区域边界单元类型的不同（线性单元，二次单元）、裂纹尖端单元类型的不同（四分之一节点单元，二次单元）、裂纹尖端网格密度的大小等因素对于计算结果都有一定的影响，所以选取孔边裂纹受单向拉伸板模型验证了上述因素对于计算结果精度的影响，结果表明二次单元比线性单元更加精确，裂纹尖端选取四分之一奇异性单元能够更加精确的模拟裂纹尖端的应力场，而且网格密度越大计算结果误差越小；(3)选取斜裂纹受均匀单向拉伸板作为研究对象，研究了在不同初始裂纹长度下裂纹尖端应力强度因子的计算精度和裂纹的平面扩展轨迹，并且对裂纹扩展过程中I型应力强度因子和II型应力强度因子的变化规律进行了研究；(4)采用三维边界元断裂分析软件FRANC3D研究了边界元法在三维裂纹中的应用，选取半椭圆形表面裂纹模型和单边受拉斜裂纹模型进行计算并且验证了FRANC3D的计算精度，结果表明FRANC3D可以精确计算三维裂纹的应力强度因子；(5)采用FRANC3D软件对T型管节点鞍点部位的裂纹扩展轨迹进行了数值模拟，并对扩展过程中应力强度因子变化规律进行了研究，结果表明裂纹扩展为非平面扩展，且在扩展过程中I型裂纹起主要作用。