本文的主要结果分为五个部分.首先,我们探讨量子包络代数在量子空间上的模代数结构和Ur,t的伴随作用.量子包络代数Ur,t是由吴在[83]中引进的.当q不是单位根且所在的域是复数域C时,我们利用类似于文章[35]中的方法,对Ur,t在量子平面上的模代数结构给出了一个完全的分类,并描述了这些表示.另外,我们还完全分类了Uq(sl(3))在量子3-空间上的模代数结构.并且,当k是特征为0的代数闭域,q∈k不是单位根时,我们对Ur,t的伴随作用进行了研究.我们描述了它的局部有限子代数结构,并刻画了Ur,t的所有理想和它的一些本原理想.其次,我们研究了对应于量子包络代数U1(f(K,H))(见[81])的由李引进的弱Hopf代数(见[63,64]).在第三章中,我们定义了一类新的代数,记为(?)Uqd.当d=((1,1)|(1,1))时,我们把(?)Uqd记为(?)1Uq;当d=((0,0)|(0,0))时,我们把(?)Ud记为(?)2Uq.并且,我们详细地研究了(?)1Uq和(?)2Uq.在某些情况下,我们给出了(?)1Uq和(?)2Uq成为弱Hopf代数的充分必要条件.(?)1Uq和(?)2Uq的PBW基也已给出.并且,当域是复数域C,q∈C不是单位根时,我们刻画了(?)1Uq的表示和中心.第三,我们给出了一类新的量子包络代数Uq(f(K,J))和一些新的Hopf代数,这些新的Hopf代数是广义Kac-Moody李代数的量子化包络代数借助任一Hopf代数的某种扩张.这种构造推广了一些已有的在量子化包络代数上加一个Hopf代数的扩张,并且提供了一大类新的非交换非余交换的Hopf代数.第四,我们引进了左对称共形代数的概念来研究顶点代数.顶点代数是用来描述2维共形场论的一个严格的数学定义.通过Bakalov和Kac在[8]中利用李共形代数和左对称代数给出的顶点代数的等价刻画,我们可以发现,在研究顶点代数时,我们需要处理这样一个问题：是否在一类特殊的李代数(形式分布李代数)上存在与它相容的左对称代数.在第六章中,我们对这个问题进行了研究.左对称共形代数和Novikov共形代数的定义可见第二章.我们在第六章中列举了很多有关这些代数的例子.最后,我们利用左对称共形代数给出了一种构造顶点代数的方法.这种构造提供了一大类有限非交换的顶点代数.最后,我们讨论了共形意义下的左对称双代数.左对称双代数的定义是由白在[5]引进的,它等价于一个parakahler李代数,这类李代数是带有G不变parakahler结构的李群G的李代数.在第七章中,我们介绍了左对称共形余代数和左对称共形双代数的定义.并且,我们给出了李共形代数和左对称共形代数的匹配对(matched pairs)的构造.我们证明了一个有限的作为C[(?)]模是自由的左对称共形双代数等价于一个parakahler李共形代数(见定义7.18).另外,我们也得到了一个共形意义下的S-方程(见[5]),并给出了共形symplectic double的构造.