边界元法是力学科学计算中常用的数值方法，本文在概述了计算力学及其数值方法的基础上，详细介绍了边界元法的发展历史、研究现状及基本原理。 边界元分析中，在计算边界区域附近内点物理量时，由于几乎奇异积分的存在引起“边界层效应”致使计算结果不精确甚至失真，对于能更好贴近工程实际边界的高阶几何单元，其中的几乎奇异积分由于雅可比及被积函数形式十分复杂导致计算异常困难。这在某种程度上制约着边界元法在工程中的应用，因此精确计算几乎奇异积分特别是高阶几何单元下的几乎奇异积分具有重要意义。鉴于此，本文引入一种处理高阶几何单元下几乎奇异积分的精确积分法，极大地提高了几乎奇异积分计算的精度，从而有效地处理了“边界层效应”。 该精确算法应用到位势问题中，基于等价间接变量无奇异边界积分方程，归纳了几乎奇异积分的存在形式，导出了等参二次单元下积分的精确表示式，精确地计算了其中出现的几乎奇异积分，有效地消除了“边界层效应”，从而获得了近边界点的位势和位势梯度的高精度解。 将该算法应用到弹性问题中，基于弹性问题的一类等价无奇异边界积分方程，在归纳了几乎奇异积分的存在形式的基础上，给出了等参二次单元下平面弹性问题中的几乎奇异积分的精确表达式，精确计算了近边界点的切向应力和径向应力，有效地消除了“边界层效应”。 以各向同性椭圆等截面直杆扭转问题为例对实际的工程应用问题进行了初步探讨，基于各向同性等截面直杆扭转的无奇异边界积分方程，引入本文给出的几乎奇异积分的精确算法，在高阶几何单元下，精确计算了端面近边界点的扭转剪应力。 最后，对全文进行总结，进一步完善该算法，可扩大实际应用范围，应用前景十分广阔。