【摘 要】
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在这篇文章中,我们主要运用积分形式的移动平面法在上半空间上研究一个奇异积分方程解的一些性质.与传统移动平面法相比,积分形式的移动平面法不需要对解的局部性质有限制条
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在这篇文章中,我们主要运用积分形式的移动平面法在上半空间上研究一个奇异积分方程解的一些性质.与传统移动平面法相比,积分形式的移动平面法不需要对解的局部性质有限制条件.令Rn+是n维上半欧氏空间Rn+={x=(x1,x2,…,xn)∈Rn｜xn＞0},
假设α是满足0＜α＜n的任意实数,0＜β＜α,γ=n+α-2β/n-α,我们考虑如下积分方μ(x)=∫Rn+(1/｜x-y｜n-α-1/｜x*-y｜n-α)μγ(y)/｜y｜βdy,μ(x)＞0,(A)∈Rn+(0-1)
这里矿x*=(x1,…,xn-1,-xn)是点x关于平面Xn=0的对称点.我们也研究了积分方程{(-△)α/2μ(x)=μγ(y)/｜y｜β,(A)x∈Rn+;(-△)kμ?(x)=0,(A)x∈(e)Rn+,k=0,1,α/2-1.(0-2)
在证明过程中,我们主要运用了正则提升定理、H(o)lder不等式以及Hardy-Littlcwood-Sobolev不等式等.我们的主要结果是:
定理1若q0＞n/n-α,令μ∈Lq0(Rn+)是积分方程(0-1)的一个解,假定γ=n+α-2β/n-α,0＜β＜α＜n,以及∫Rn+(μγ-1/｜y｜β)n/αdy＜∞.则对任意的n/n-α＜q＜∞,μ(x)属于Lq(Rn+)∩ L∞(Rn+),从而μ是连续的.
定理2若q＞n/n-α,令μ∈Lq(Rn+)是积分方程(0-1)的一个解,假定γ=n+α-2β/n-α,0＜β＜α＜n,以及∫Rn+(μγ-1/｜y｜β)n/αdy＜∞.
定理3若μ(x)是积分方程(0-1)的解,则μ(x)也是偏微分方程(0-2)的解.
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