【摘 要】
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本文对几类偏微分方程（PDE）约束的最优控制问题的数值方法进行了研究,主要研究最优控制问题中所涉及的偏微分方程的数值离散方法,对离散方法的精度给出了理论分析和数值实验.有效的数值方法对求出最优解是至关重要的.第一部分考虑了确定性的偏微分方程约束的最优控制问题.首先,针对椭圆界面控制问题,先优化后离散,采用了浸入有限元和变分离散相结合的离散方法.对控制、状态和伴随的误差进行了估计并且得到了最优阶的收
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本文对几类偏微分方程（PDE）约束的最优控制问题的数值方法进行了研究,主要研究最优控制问题中所涉及的偏微分方程的数值离散方法,对离散方法的精度给出了理论分析和数值实验.有效的数值方法对求出最优解是至关重要的.第一部分考虑了确定性的偏微分方程约束的最优控制问题.首先,针对椭圆界面控制问题,先优化后离散,采用了浸入有限元和变分离散相结合的离散方法.对控制、状态和伴随的误差进行了估计并且得到了最优阶的收敛精度.其次,考虑了一阶双曲方程约束的最优控制问题,采用高阶迎风有限体积元方法对方程进行离散,该方法高效且易于实现.对半离散和全离散的误差进行了估计,并得到L2范数下空间h3/2的误差精度.数值实验验证了该方法的有效性和理论结果.在第二部分,为了求解随机PDE约束的最优控制问题,我们研究了两类随机PDE的数值求解方法.先考虑了扩散系数既是随机又是间断的椭圆方程,物理空间采用浸入有限元方法,随机空间采用基于Smolyak近似的稀疏网格配置方法.对误差收敛性进行了理论分析,并且和古典蒙特卡洛方法进行了比较,验证了数值方法的快速收敛性.然后研究了求解带随机系数的对流扩散方程的蒙特卡洛有限体积元方法,对统计误差进行了理论分析.采用带Sobol序列的拟蒙特卡洛方法来加速收敛.
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