本文研究连分数和β-展式中的极限定理与维数性质,主要结果包括三个方面:1)研究与连分数部分商的最大值Mn(x)有关的集合的Hausdorff维数以及连分数收敛因子的分母qn(x)的大偏差性质。Mn(x)是研究连分数部分商序列的重要参量。已有结果得到了Mn(x)以多项式速度和单重指数速度趋于无穷大的点组成的集合的Hausdorff维数。我们考虑Mn(x)以双重指数速度趋于无穷大的情况,得到相应集合的Hausdorff维数与第二重指数的底成反比例关系,并且Mn(x)以高于双重指数速度趋于无穷大时,该集合的Hausdorff维数为零。所获结果一方面是对已有研究的重要补充;另一方面,从维数的角度看是终极结果。收敛因子的分母qn(x)是与Diophantine逼近密切相关的一个量。已有的研究得到其渐近行为、中心极限定理、重对数律等性质,但这些研究结果没有涉及到收敛阶。计算收敛阶是误差估计、精度分析中一个重要问题。通过建立期望(关于Lebesgue测度)E(qnθ)的渐进增长性与压力函数P(θ)之间的联系,运用概率论中求大偏差的方法,我们得到(log qn(x)/n依测度收敛的收敛速度是指数阶的。2)研究β-展式的逼近阶问题。对实数x ∈[0,1),称其β-展式前n项和ωn(x)为x的β-展式的收敛因子。首先,我们证明了:对几乎处处(关于Lebesgue测度)的x ∈[0,1),ωn(x)以β-n的速度收敛到x。自然的问题是,是否存在使ωn(x)以其他速度收敛的点x?如果存在,这些点组成的集合有多大?我们得到:没有点x使得ωn(x)以β-αn(0 ≤ α<1)的速度收敛;至多可数多点使ωn(x)以β-αn(α>1)的速度收敛;ωn(x)以β-n的速度收敛到x的点组成的集合是满测的。进一步,上述结果被成功地应用到实数在β-变换作用下轨道的增长速度问题、β-变换的收缩靶问题、β-展式的Diophantine逼近问题以及β-展式的run-length函数的性质等方面。3)研究连分数展式和β-展式之间的关系。对任意的无理数x ∈[0,1)和正整数n,定义kn(x)= sup {m ≥ 0:J(ε1(x),…,εn(x))(?)I(a1(x),…,am(x))},其中J(ε1(x),...,εn(x))表示x的β-展式的 n 阶柱集,I(a1(x),…,am(x))表示x的连分数展式的m阶柱集。当β = 10时,Lochs,Faivre,Wu等分别得到kn(x)的渐近增长性、大偏差、中心极限定理、重对数律等性质。需要指出的是,这些结果的证明强烈地依赖十进制展式的柱集长度。β是整数时,β-展式的n阶柱集是长度为βn的左闭右开的区间;β不是整数时,β-展式的n阶柱集不是等长的且其长度的下界可能比β-n小得多。因此,不能使用已有的方法将上述结果从β = 10推广到β>1。首先,我们给出β-展式柱集长度下界的估计,然后研究该下界的分布规律和渐近行为,最后证明了kn(x 的大偏差、中心极限定理和重对数律。此外,我们还得到了连分数比β-展式或β-展式比连分数更好逼近的收敛阶。最后,我们给出了 Engel连分数的大偏差原理及其速率函数的表达式。