论文部分内容阅读
非线性分析是以现实世界中各种非线性问题为背景，它是处理各种非线性微分方程的理论基石，其方法主要包括半序方法、拓扑度理论、临界点理论等.本文利用拓扑度理论和临界点理论研究了几类非线性微分方程解及多解的存在性. 本文共分五章.第一章简要介绍了非线性分析的一些基本概念和定理.在第二章中，首先研究了如下分数阶Schr(o)dinger方程无穷多弱解的存在性:（-△）su+V(x)u=f(x，u)，x∈RN，其中N≥2，s∈(0，1)，（-△）s是分数Laplacian算子，f∈C(RN×R，R). 其次研究了以下分数阶Schr(o)dinger方程:(-△)su+V(x)u=f(x,u)+g(x),x∈RN，其中N,s，（-△）s均由前式定义，g(x)为扰动项，f(x，u)=λh1(x)|u|q-2u+h2(x)|u|Τ-2u，1＜q＜2＜r＜2*s:=2N/N-2s，(V)(x,u)∈RN×R.由此，不仅获得了弱解的存在性，还考虑了参数λ和扰动项9对解存在性的影响. 在第三章中，研究了Rn中有界域上的广义Kadomtsev-Petviashvili方程的静态解:{(6)3/(6)x3u(x,y)+(6)/(6)xf(u(x，y))-D-1x△yu(x，y),（x.y）∈Ω，{D-1xu|(6)Ω=0,u|(6)Ω=0，其中D-1xh(x，y)=∫x-∞h(s，y)ds是逆算子，(x，y):=（x.y1，.…,yn-1）∈R×Rn-1，n＞2，△y:=(6)2/(6)Y21+(6)2/(6)Y22+…+(6)2/(6)Y2n-1.这里主要采用山路定理和喷泉定理获得上述问题无穷多弱解的存在性. 在第四章中，研究了以下四阶Navier边值问题弱解的存在性:△2u(x)+c△u(x)=λu(x)+f(u(x)),x∈Ω,u=△u=0,x∈(6)Ω.其中λ是一参数，△2是双调和算子，Ω(c) RN(N＞4)是具有光滑边界的有界域，f∈C(R，R)，并在著名的Landesman-Laxer条件下，采用(S)+型度理论获得了以下问题弱解的存在性:△2u(x)+c△u(x)=λ1u(x)+f(u(x))-g(x),x∈Ω,u=△u=0，x∈(6)Ω.其中f∈C(R，R)，g∈Lq(Ω)，q∈（2N/N+4，+∞]. 在第五章中，研究了以下带有Riemann-Liouville导数的分数阶边值问题正解的存在性:{Dα0+Dα0+u=f（t，u，u,-Dα0+u），t∈[0.1].{u(0)=u(0)=u(1)=Dα0+u(0)=Dα+10+u(0)=Dα+10+u(1)=0，其中α∈(2，3]，f:[0，1]×[0，+∞)×[0，+∞)×[0，+∞)→（-∞，+∞）是连续的，且f(t，x1，x2，x3)下方有界，即存在M＞0使得f(t, x1，x2，x3)+M≥0，(V)t∈[0，1]，xi∈[0,+∞），i=1，2，3.值得一提的是非线性项可以依赖于u，u以及-Dα0+u.