论文部分内容阅读
本文基于符号计算,利用非局域对称方法、双线性方法和特征线法,研究了若干非线性可积模型的对称性、非线性波解、波破裂现象等.主要包括五个方面的工作:利用非局域对称方法研究可积系统的相互作用解及局部激发态现象;利用CRE方法研究系统的CRE可解性及精确解;利用Hirota双线性方法研究孤立波、lump、呼吸子和怪波四类非线性波;基于Maple平台开发了用于构造可积方程lump解的LumpSol程序包和lump与孤子相互作用解的InterSol程序包;利用特征线法研究受科氏力影响的Camassa-Holm型浅水波模型的波破裂现象及全局强解存在条件.具体内容如下:第一章为绪论部分,重点介绍了对称理论、非线性波、受科氏力影响的浅水波模型和符号计算的研究背景及其发展现状,并阐述了本论文的选题和主要工作.第二章研究了Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota(DSSH)系统、2+1维KdV方程和reduced Maxwell-Bloch(RMB)系统的非局域对称、延拓系统、相似约化及相互作用解,首次通过非局域对称方法构造了RMB系统的局部激发态解.首先,基于Lax对构造了DSSH系统的非局域对称;基于Lax对和Painlev′e截断展开两种方式分别给出2+1维KdV方程的非局域对称;基于Painlev′e截断展开法得到RMB系统的非局域对称.基于Lax对方法和Painlev′e截断展开方法构造的非局域对称及原系统约化后的Schwarz形式是一致的.这里得到了非线性波之间的相互作用解,包括孤立波分别与椭圆余弦波、有理解、Painlev′e波和周期波的相互作用解.特别是,推导出RMB系统的一些新的局部激发态,如怪波、呼吸子及其他非线性波.第三章研究了广义Kadomtsev-Petviashvili(gKP)方程、修正BogoyavlenskiiSchiff(mBS)方程和RMB系统的CRE可解性和精确解.首先,基于Painlev′e截断展开法得到三个系统的相容Riccati展开式,进而验证三个系统的CRE可解性和CTE可解性.然后利用CTE方法,分别研究了三个系统的孤立波和孤立波与椭圆余弦波相互作用解.最后,通过图形详细讨论这些相互作用解的动力学行为及特征.第四章研究了3+1维广义KP方程和2+1维Sawada-Kotera方程的非线性波解.首先,利用Hirota双线性方法和长波极限法得到3+1维广义KP方程的四种类型的非线性波:孤立波、lump、呼吸子和怪波,以及这些非线性波之间的相互作用解.然后利用Hirota双线性方法和函数拟设法,推导出2+1维Sawada-Kotera方程的lump解、lump和线孤子之间的相互作用解,并且发现其lump解和线孤子之间的相互作用是完全非弹性碰撞.最后,基于Maple软件平台,首次开发了用于构造可积系统lump解的LumpSol程序包和lump与线孤子相互作用解的InterSol程序包,并通过应用到不同的具体实例来验证两个软件包的有效性和便利性.第五章研究了受科氏力影响的Camassa-Holm型浅水波方程,该方程可作为在赤道洋流区域内,由于地球自转受科氏力影响的长峰浅水波传播的渐近模型,并且与材料学中的可压缩超弹性rod模型有关.该模型具有哈密顿结构,其对应于物理上相关的初始扰动的解在较长的时间尺度上更精确.研究结果表明在波破裂意义下,受科氏力影响的Camassa-Holm型方程的解在有限时间内爆破.基于动力学的局部结构进行了精细分析,从而给出了波破裂现象.同时,还研究了地球自转引起的科氏力和非局域高阶非线性项对爆破准则和波破裂现象的影响.最后给出了该方程在某些特殊情况下存在全局强解的一个充分条件.第六章对全文工作进行总结和讨论,并对今后的研究工作做了进一步的展望。