本文主要研究了局部域上加权Fourier变换的有界性，齐次加权Besov空间上的奇异积分算子及非齐次Besov空间上的求导运算的封闭性. 第0章主要介绍了一些基本概念及记号.K是局部紧的，非离散的，全不连通的完备域即局部域，Kn是K的n维向量空间，S为Kn上的分布空间.dx为Kn上的Haar测度，‖f‖Lpω=(∫Kn|f|pωdx)1/p,0＜p＜∞. 第一章讨论了局部域上两类加权Fourier变换的有界性，并得到了两个关于有界性的判定定理.设权函数ω0(x)，ω(x)，ω1(x)为Kn上的非负径向函数.性质A(i)ω(x)关于|x|单调不减，(ii)∫|x|≥aω1(x)dx≤c/ω(a)，(a＞0，c为常数)，(iii)ω2ω1，ω0是本性有界的.性质B∫Knωω1dx＜∞，(ii)ω2ω1，ω0是本性有界的.设f表示局部域上f(平常)的Fourier变换，fω0=f·ω0表示局部域上f的加权Fourier变换.定理1.2.1(1)若1＜p≤2，权函数ω(x)，ω0(x)，ω1(x)满足性质A，则存在常数Mp，使对任意的f∈Lp(Kn)，有(∫Knn|fω0|pωpω1dx)1/p≤Mp(∫Kn|f|pω0dx)1/p(2)若2≤p＜∞，权函数ω(x)，ω0(x)，ω1(x)满足(i)性质A与(ii)存在常数M’，使ω0≤Mω2ω1，a.e，则存在常数Mp，使对任意的f∈Lp(Kn)有(∫Nn|fω0|pω0dx)1/p≤Mp(∫Nn|f|pωpω1dx)1/p其中1/p+1/p=1.作为特例，令ω(x)=|x|n，ω1(x)=|x|-1n，ω0(x)=1即得局部域上的Hardy-Littlewood-Paley定理.定理1.2.2(1)若1≤p≤2，权函数ω(x)，ω0(x)，ω1(x)满足性质B，则存在常数Mp，使对任意的f∈Lp(Kn)，有(∫Kn|fω0|pωpω1dx)1/p≤Mp(∫Kn|f|pω0dx)1/p.(2)若2≤p＜∞，权函数ω(x)，ω0(x)，ω1(x)满足(i)性质B与(ii)存在常数M’，使ω0≤Mω2ω1，a.e..则存在常数Mp，使对任意的f∈Lp(Kn)，有(∫Kn|fω0|pω0dx)1/p≤Mp(∫Kn|f|pωpω1dx)1/p，其中1/p+1/p=1. 文[13]对局部域上的Besov空间的原子分解进行了研究，本文在第二章利用该空间的原子分解进一步讨论局部域上加权齐次Besov空间上的奇异积分，得到两个相应的结果.Ap(1≤p＜∞)为Kn上的Muckenhoupt权函数数. 设α∈R，0＜p＜∞，0＜r＜∞，ω1，ω2是非负权函数，加权齐次Besov空间Bαr，p(ω1，ω2)定义为Bαr,p(ω1,ω2)={f∈S|‖f‖Bαr,p(ω1,ω2)＜∞}.其中‖f‖Bαr.p(ω1,ω2)={∑k∈Z[ω1(Pk)]-αp/n·‖f*φ-k‖prω2}，(φ-k=R(·，-k)-R(·，-k+1)，‖·‖r,ω2=‖·‖Lrω)，设Ω(x)∈L∞(Kn)，满足(i)，Ω(Pkx)=Ω(x)，k∈Z，(ii)∫|x|=1Ω(x)dx=0，(ii)存在0＜r＜1，使对|x|=1，|y|≤1有|Ω(x+y)-Ω(x)|≤c|y|r，c为常数.定义奇异积分算子T：Tf(x)=mlim∞Tmf(x)，其中Tmf(x)=∫|x|＞qmΩ(z)/|z|nf(x-z)dz,m∈Z,f∈L∞c(Kn). 定理2.3.1设1＜p，r＜∞，α∈R，ω1∈A1，ω2∈Ar，若f∈Bαr，p(ω1，ω2)，则存在Bαr，p(ω1，ω2)中稠密子集L及常数C，使得‖Tf‖Bαr,p(ω1,ω2)≤C‖f‖Bαr,p(ω1，ω2)，对任意f∈L都成立. 定理2.3.2设0＜α1＜α2＜∞，0＜β1＜β2＜∞，α1-α2=β1-β2，0＜Pi，Ti＜∞，0＜r≤1，ω1∈A1，ω2≥0，如果线性算子F映Bαr，p(ω1，ω2)到Bβri,Ti(ω1，ω2)，i=1，2，则F映Bαr,p(ω1，ω2)到Bαr,r(ω1，ω2)，其中α=tα1+(1-t)α2，β=tβ1+(1-t)β2，0＜t＜1，0＜p≤T＜∞. 本文在第三章，利用郑维行在[18]中引进的导数研究局部域上的非齐次Besov空间的求导运算，得到了该空间对求导运算封闭的一个定理.另外还进一步讨论了局部域上的Besov空间与Herz空间的关系. 设α∈R，0＜p＜∞，1≤r＜∞，齐次Besov空间Bαr，p(Kn)定义为Bαr,p={f∈S|‖f‖Bαr,p＜∞}这里‖f‖Bαr,p=(K∑∈Zqkpα·‖f*φ-k‖pr)1/p非齐次Besov空间Bαr,p(Kn)定义为Bαr,p={f∈S|‖f‖Bαr,p＜∞}，这里‖f‖Bαr,p=(‖f*R0‖pr+∞∑k=1qkpα‖f*φ-k‖pr)1/p设α∈R，0＜p＜∞，1≤r＜∞，齐次Herz空间Kαr,p(Kn)定义为Kαr,p={f∈Lrloc(Kn{0})|‖f‖Kαr,p＜∞}，这里‖f‖Kαr,p=(∑k∈Zqkpα(∫C--k|f|rdx)p/r)1/p，C-k=P-kP-k+1.局部域K上的复值函数f：K→C称为在x∈K具有按点的(p)型导数，如果极限Nlim∞△Nf(x)存在，记为f<1>(x)其中△Nf(x)=N∑j=-Nq-N-j+1q-1∑v=1qN-1∑l=0ωv·f(+lP-j),N为自然数，而ω=exp{-2πi/q}.f(x)按Lr意义(1≤r≤∞)的强(p)型导数定义为△Nf(x)的强Lr极限，如果它存在的话，并记为D<1>f. 定理3.1.1(a)当1≤r＜2时，Fourier变换映Bαr，p到Kαr+(r-2)n/r，p内，且对任意f∈Bαr，p,有‖f‖Kαr+(r-2)n/r,p≤Mr‖f‖Bαr,p.(b)当r=2时，Fourier变换同构地映Bαr，p到Kαr，p上.(c)当2＜r＜∞,p＞0时，对任意f∈Bαr，p(ω1,ω2)且f局部可积，则f∈Kαr,p，且‖f‖Kαr,p≤Mr‖f‖Bαr,p(ω1，ω2)，其中ω1(x)=1，ω2(x)=|x|n(r-2).定理3.2.1若f∈Bαr，p(K)，α＞1，0＜p＜∞，1≤r＜∞，则D<1>f∈Bαr-1,p.