本文首先简单介绍了非线性偏微分方程研究的内容、现状、意义,然后研究了一类二阶半线性椭圆方程多重解的存在性;一类非线性双调和方程非平凡解的存在性;一类四阶半线性椭圆方程(多重)解的存在性;一类非线性Hamiltonian系统周期解的存在性问题。具体可以分为以下几个部分来加以研究:(1)本论文的第一章为绪论,我们先在第一节简单介绍了非线性偏微分方程的研究内容、现状、意义,包括国内外目前的研究动态以及取得的相关成果,以及非线性偏微分方程的定义。第二节简单介绍了极小极大理论在证明非线性偏微分方程的(多重)解的存在性的重要作用,并给出了两个极小极大理论:山路引理,环绕定理。第三节给出了本文主要用到的两个极小极大理论:变型环绕定理,环绕模型定理。(2)第二章利用变型环绕定理、环绕模型定理,研究一类二阶半线性椭圆方程的非平凡解的存在性。本章分三节,第一节预备知识,介绍了一些性质、定义和定理。第二节考虑多重解和文[25]中二阶椭圆方程(2-1)非线性部分的关系。即,当λk <λ<λk+1时,利用变型环绕理论,得到了方程(2-1)存在两个非平凡解。甚至于,利用环绕模型理论,得到了方程(2-1)存在三个非平凡解。第三节是本章小结。(3)第三章利用山路定理、变型环绕定理,研究了非线性双调和方程的非平凡解的存在性。本章分三节,第一节预备知识,介绍了一些性质、定义和定理。第二节,利用山路定理证明了该方程至少存在一个非平凡解,即至少存在两个解;利用变型环绕定理证明了该方程至少存在两个个非平凡解,即至少存在三个解。第三节是本章小结。(4)第四章利用山路定理、变型环绕理论,研究了一类四阶半线性椭圆问题的(多重)解的存在。本章分三节,第一节预备知识,介绍了一些性质、定义和定理。第二节,利用山路定理证明了该问题至少存在一个非平凡解,即至少存在两个解;利用变型环绕定理证明了该问题至少存在两个个非平凡解,即至少存在三个解。第三节是本章小结。(5)第五章利用变型环绕理论证明了一类非线性Hamiltonian系统存在两个非常数2π-周期解。这里对文[25]中定理6.10进行了一些改进,并利用变型环绕理论得到Hamiltonian系统存在两个非常数周期解。