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对于m-维连通单连通幂零系统G,关联李代数g以及Malcev基(X)={X1,X2,…,Xm},一个熟知的结论为
exp(t1X1)exp(t2X2)…exp(tmXm)=expm(∑k=1tkxk+m∑k=2Pk(t1,t2,…,tk-1)Xk),其中Pk为不包含常数项,一阶项的多项式.在本文中,我们将仔细研究多项式Pk的性质.
首先,对于2-步幂零情形,存在某个2≤d≤m,使得当2≤k≤d时,Pk=0,当d+1≤k≤m时,Pk=1/2∑1≤i≤j≤daijktitjXk,其中d和aijk为由Malcev基确定的结构常数,并且对于形如这样的多项式组,也可以找到一个幂零李群及Malcev基来实现.
其次,我们将探讨5-维3步幂零时的情形,并指出简单形如P2(t)=0,P3(t)=at1t2,P4(t)=bt1t2,Ps(t)=∑l≤i<j≤4Cijtitj+dt1t2t3的多项式组都不一定能够被某个5-维连通单连通幂零李群及Malcev基来实现.
最后,我们将探讨一般情形时的幂零李群,此时,我们有P2=0,这P3=1/2a123t1t2,当3≤k≤m时,Pk(t)=1/2∑l≤i≤j≤k-1aijktitj+Qak(t).其中a=(aijk)为关于Malcev基的结构常数,Qak为由a确定的关于(t1,…,tk-1)的不包含常数项,一阶项,二阶项的多项式,反之,对入形如这样的多项式组,在满足某些条件下,我们也可以找到某个幂零李群以及Malcev基来实现.