半群上同余格的结构是一个重要的问题.本文研究对象是特殊的逆半群自由单演逆半群Ix上的同余格.我们知道Ix有五种结构形式和四类非恒等同余. 对于逆半群S上的同余ρ，trρ=ρ|E(S)为同余ρ的迹，kerρ={a∈S|( )e∈E(S)，aρe}为同余ρ的核.在同余格C(S)中与ρ有相同的迹的同余构成的迹类中存在极大元ρT和极小元ρt；相应地，与ρ有相同的核的同余构成的核类中有极大元ρK和极小元ρk.因此我们在S的同余格C(S)上得到四个算子Γ={K，k，T，t}.本文的第一部分中，我们先给出自由单演逆半群上，四类非恒等同余的极值同余，再建立算子在同余格上所满足的关系∑，从而确定了算子在同余格上在生成关系∑下生成的半群即自由单演逆半群上的核一迹算子半群Γ+/∑*，它含有17个元素.这里的Γ+为Γ生成的自由半群.这样，自由单演逆半群上任一同余所在同余网ρΓ+中至多只有17个元素. 第二部分里，先得出Ix上的两个元素具有自然偏序关系，其表示形式的三个分量之间应满足的条件，再研究四类非恒等同余的同余类在自然偏序下是否具有最大元.主要结论为在四类非恒等同余中，其中两类同余ρ(k，∞+)和ρ(k，∞-)的同余类最大元存在，一类同余ρ(k，ω)的同余类最大元可能存在，一类同余ρ(k,l)的同余类最大元不存在.最后讨论Ix上特殊同余的同余类在自然偏序下是否有最大元，给出了Ix上群同余，Clifford同余，E-酉同余及幂等纯同余的同余类具有最大元应满足的条件.