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斜群环是代数中非常重要的一类环,斜群环上的分次扩张是有良好性质的环扩张.由前人的研究可知,分次扩张的集合与高斯扩张的集合具有一一对应关系,从而我们可以通过研究分次扩张的代数结构来研究高斯扩张的代数结构.斜罗朗多项式环是一类重要的环,谢光明和H.Marubayashi根据A1和A?1的性质,将K[Z,σ]上的分次扩张分成(a)类,(b)类,(c)类,(d)类,(e)类,(f)类,(g)类,(h)类分次扩张,李海贺在前者基础上对V在KZ(n)上的分次扩张进行了详细的探讨. 本文的研究是在KZ(n)的分次扩张基础上,对其商域上的高斯扩张留数域的结构进行研究,令K是一个域,V是K上的全赋值环,A=(+)u∈Z(n)AuXu是V在KZ(n)上的分次扩张,R=AJg(A)是A在分次Jacobson根下的局部化,由文献[17]可知,R是高斯扩张,(R)=R/J(R)同构于(A)=A/Jg(A)的分式域.因此我们可以通过研究(A)的结构来研究高斯扩张留数域的相关代数结构.本文分为如下五个部分. 引言介绍本文的研究背景. 第一章介绍相关的一些基本定义和引理,并介绍K Z(n)上不同类型的分次扩张. 第二章是在第一章的基础上研究KZ(n)商域上的高斯扩张留数域,分别按照(a)类,(d)类,(e)类以及广义(h)类分次扩张及其特殊情况(g)类分次扩张讨论相应高斯扩张留数域的结构及性质,主要引理是2.5;主要定理是2.6. 引理2.5设A=(+)u∈Z(n)AuXu是V在KZ(n)上的分次扩张,H={u∈Z(n)|AuA?u=V},假设r(H)=r＞0,H=L(u1,u2,…,ur),且Aui=Vci(i=1,…,r).令Yi=(ciXui)=ciXui+Jg(A),则Y1,…,Yr是(V)上的无关未定元. 定理2.6若A=(+)u∈Z(n)AuXu是V在KZ(n)上的分次扩张,H如上引理,令R=AJg(A),(R)=R/J(R),则(A)(≡)(V)[Y1,…,Yr],(R)(≡)(V)(Y1,…,Yr).这里Y1,…,Yr是(V)上的无关未定元. 第三章给出了V为离散赋值环时的高斯扩张留数域的一些引理和相关例子;主要定理是3.5. 定理3.5假设V是域K上的离散赋值环,则V在KZ(n)上的分次扩张必是(a)类或(e)类分次扩张. (1)若A为(a)类分次扩张,则H=Z(n),令R=AJg(A),(R)=R/J(R),则(A)(≡)(V)[Y1,…,Yn],(R)(≡)(V)(Y1,…,Yn).这里Y1,…,Yn是(V)上的无关未定元; (2)若A为(e)类分次扩张,f是对应于A的非奇分次映射,令H={u∈Z(n)|f(u)+f(?u)=0},若R(H)=r,令R=AJg(A),(R)=R/J(R),则(A)(≡)(V)[Y1,…,Yr],(R)(≡)(V)(Y1,…,Yr).这里Y1,…,Yr是(V)上的无关未定元. 第四章是在前三章的基础上举例阐述K Z(n)商域上不同类型的高斯扩张留数域的代数结构. 最后部分为结束语,小结本文的内容,并尝试提出一些可进一步拓展研究的问题.