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很多学者对随机泛函微分方程展开研究,该领域已经产生了丰富的文献,这些研究多集中于有限时滞的情形.本文讨论无限时滞随机泛函微分方程的渐近性质,包括矩有界性,稳定性,渐近轨道估计.整体解的存在唯一性是研究方程渐近性质的基础.本文在局部Lipschitz条件成立的前提下,给出两个具体的Lyapunov函数U(x)和V (x),借助一类具有丰富内涵的Ψ-型函数来控制LU(t, x, φ)或LV (t, x, φ),以此取代线性增长条件,得到方程整体解的存在唯一性.
矩有界性是本文首先考虑的渐近性质,具体地又分为p阶矩最终有界性和q阶矩时间平均有界性.本文充分利用Ψ-型函数的特性,将控制LV (t, x, φ)的整体解存在唯一性条件加强,从而建立了p阶矩最终有界性和q阶矩时间平均有界性同时成立的一般条件.
稳定性是最为重要的渐近性质.本文以Ψ-型函数表征整体解衰减至平衡解的一 般速率,研究了p阶矩一般衰减稳定性和几乎必然轨道一般衰减稳定性.沿用建立矩有界一般条件的思路,仍是对LV (t, x, φ)施加某种比确保整体解存在唯一性更强的控制,从而得到p阶矩稳定性和轨道稳定性同时成立的一般条件.
对于p阶矩一般衰减稳定性和几乎必然轨道一般衰减稳定性,本文还循另外的路径,即Razumikhin方法,建立了两者同时成立的一般条件.假定方程存在唯一的整体解,在此前提下,首先建立一个Razumikhin型p阶矩一般衰减稳定性定理,然后基于该定理,对LV (x(t))施加有别于前述方案的控制,以此来实现之前建立的Razumikhin型定理,这样得到了p阶矩一般衰减稳定性条件,在此基础上,追加对方程系数g的控制条件,由此又可以得到轨道一般衰减稳定性.
轨道估计有其独特的价值.本文考虑了轨道几乎必然至多以多项式速率增长的问题.假定方程在Rn×中存在唯一的整体解,然后以V (x)=|x|2作为Lyapunov函数,利用指数鞅不等式,Borel-Cantelli引理,建立轨道至多以多项式增长的一般条件.对上述渐近性质所建立的一般条件并不直接关联于方程的系数f和g,因此不便于应用.本文的主要工作则是以控制f和g的方式来分别实现上述各种渐近性质的一般条件.具体的方法是在f和g满足局部Lipschitz条件的前提下,针对每种渐近性质,给定控制f和g的多项式增长条件,基于这些多项式中的参数建立若干不等式,藉此实现对该渐近性质所建立的一般条件,值得提及的是,这些不等式还能同时确保整体解存在唯一性.