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积分几何是一门通过各种积分考察图形性质的学科，本质上属于微分几何的范畴.它不仅与概率、统计是紧密联系着的，还在其他的学科中如生物学、医学、矿物学、金属学，以至物理、天文、建筑、声学等也有着广泛的应用.中国早期从事积分几何研究的有吴大任，他第一个把欧氏空间积分几何的基本结论(包括主要公式在内)推广到三维椭圆空间，还证明了关于2维欧氏空间(即平面空间)和3维欧氏空间(即立体空间)里凸体弦幂积分的一系列不等式.任德麟第一次得到n维欧氏空间和非欧氏空间里含凸体内的定长线段测度公式，把弦幂积分的不等式推广到n维欧氏空间，并且他还将Buffon投针问题作了推广。
凸几何分析是用几何方法与分析方法来研究凸集的几何结构以及不变性的学科.就几何性质而言，它不仅属于凸几何的一个分支，还与微分几何和积分几何联系紧密.而Brunn-Minkowski理论又称混合体积理论，是凸几何分析中的一个热点问题.Brunn-Minkowski理论的主要结果包括Brunn-Minkowski不等式，Brunn-Minkowski问题的解，Aleksandrov-Fenchel不等式，Hadwiger性质定理.另外，凸集的仿射几何则是凸几何分析中的积分分支.而在凸集的仿射几何中，仿射等周不等式和逆仿射等周不等式占主导地位.凸几何分析是一门非常有用的学科，它不仅可以应用于微分几何，积分几何，代数几何中，而且对Monge-Ampere方程，数论，Banach空间理论，概率论的研究起着非常重要的作用。
本文在此基础上首先讨论了当今凸几何分析中的热门问题--混合体积问题，并总结得出多种Minkowski型不等式.接着，主要讨论了积分几何中凸域内点到边界点的平均距离以及凸域的平均弦长问题，利用最大弦长函数和广义支撑函数的概念，得到了平行四边形内点到边界点的平均距离公式，并以此为基础得到了矩形，正方形以及菱形的内点到边界点的平均距离公式。