极小极大原理最早起源于上个世纪初VonNeumann对博弈论的研究。第一个极小极大定理是VonNeumann在1928年建立的。随后，人们对极小极大定理的研究非常活跃，1964年，KyFan建立了第一个两个函数极小极大定理。极小极大不等式作为极小极大原理的另一种形式，是由KyFan在1972年首次给出的。KyFan极小极大不等式在很多领域都有应用，并且它还与Brouwer不动点定理、KKM定理、Browder变分不等式、Kakutani不动点定理、KyFan-Glicksberg不动点定理、Nash经济平衡原理等都是等价命题。在早期的工作中，极小极大原理一般都涉及某种线性结构，或者说大都是建立在拓扑线性空间上的。随着极小极大原理的发展，不带任何线性结构的极小极大原理成为研究的热点。1953年，KyFan建立了第一个纯拓扑空间上的极小极大定理，随后，Konig，Simon，M.Neumann等都分别给出了纯拓扑空间上的极小极大定理。1987年，Horvath用可缩性代替凸性建立了一个纯拓扑空间——H-空间上的KKM型定理。作为H-空间的推广形式，Ben-El-Mechaiekh，Chebbi，Flonzane与Llineres在1998年给出了L-凸空间的概念，随后出现了大量建立在L-凸空间上的极小极大不等式、KKM型定理、不动点定理、截口定理等定理。另外，随着极小极大原理的不断发展，人们对它的应用问题也变得越来越感兴趣。1999年，Kassay与Páles应用KyFan1972年的极小极大不等式证明了一个关于上部连续的集值映射与Clarke推广的上半方向导数的变分不等式，2002年，Isac与Li应用KyFan1961年的Fan-KKM定理重新证明了上述变分不等式。极小极大原理还被广泛的应用在博弈论、数量经济学、最优化理论、变分不等式、微分方程、不动点定理、位势论、截口定理等不同的领域中。 本文分为四章。 在第一章中，我们将介绍一些有关极小极大原理的背景及本文中涉及的一些记号与概念。 在第二章中，我们将建立几个混合型的两个函数极小极大定理。在2.1节中，根据A.Stefanescu在2001年首次提出的弱凸函数与弱凹函数的概念，给出了关于g弱凸与关于g弱凹的概念，建立了一个包含弱凹与关于g弱凸的两个函数极小极大定理与一个包含弱凹与关于g弱α-仿射连通的两个函数极小极大定理。在2.2节中，建立了两个包含关于函数值严格单调变换的两个函数极小极大定理。 在第三章中，我们主要研究L-凸空间上的极小极大原理。建立L-凸空间上的KKM定理，截口定理与重合定理，并应用这些定理得到一些新的两个函数极小极大定理与两个函数极小极大不等式。 在第四章中，我们主要讨论极小极大原理的应用问题，将极小极大原理应用到非光滑分析中，得到一些关于Clarke广义梯度与推广的二阶方向导数f°°(x；u，v)的变分不等式。