【摘 要】
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本文有两个主要研究对象,一是微分Harnack不等式,二是频率泛函单调性。文中第2章我简要回顾了Li-Yau的函数型梯度估计的经典方法,并引入一种新的手段去验证Li-Yau的梯度估计。受这种思路的启发,结合Hamilton的张量型极值原理,我分别在黎曼流形（第3章）、凯莱流形及K¨ahler-Ricci流（第4章）上讨论了一类偏微分方程解的矩阵型Li-Yau-Hamilton估计,得到了一些较好的
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本文有两个主要研究对象,一是微分Harnack不等式,二是频率泛函单调性。文中第2章我简要回顾了Li-Yau的函数型梯度估计的经典方法,并引入一种新的手段去验证Li-Yau的梯度估计。受这种思路的启发,结合Hamilton的张量型极值原理,我分别在黎曼流形（第3章）、凯莱流形及K¨ahler-Ricci流（第4章）上讨论了一类偏微分方程解的矩阵型Li-Yau-Hamilton估计,得到了一些较好的成果。当我们取类中的某些具体的方程时,可以得到一些推论,所得的推论与前人所得的结果相符。特别地,在黎曼流形上对一个特定的方程,我们可以通过更为精细的技巧得到具有正下界的矩阵型估计。频率泛函的单调性事实上可以看作是微分Harnack不等式的应用。本文第五章我们分别在黎曼流形、曲面Ricci流、K¨ahler-Ricci流上构造了三类频率泛函。之后借助一些已有的矩阵型微分Harnack不等式证明了这三类频率泛函关于时间的单调性。特别地,在曲面Ricci流和黎曼流形上,我们用一个方程概括了几种不同的频率泛函,在一定程度上简化了前人的证明过程,同时也推广了前人的结果。
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