谱方法作为求解微分方程的有效数值方法,在最近几十年里获得了迅速的发展。此种方法较于其它数值方法的优点在于它的高精度特性,这使之成为科学和工程上各种实际问题数值模拟的重要工具之一。谱方法已被广泛应用于流体力学、量子力学和材料科学等问题的数值计算。许多实际问题的数学模型是微分方程的边值问题。对于二阶和四阶微分方程边值问题数值方法的研究,无论在理论上还是实际应用上,都是一件十分重要而有意义的工作。目前,对此类微分方程的研究,人们也已经构造出许多有效的计算方法,相关的参考文献不胜枚举。本文主要研究求解二阶和四阶椭圆型方程边值问题的全对角化Chebyshev谱方法。我们构造了Sobolev双正交的Chebyshev基函数,由此得到了离散系统的对角化形式。相应地,精确解和近似解可以展开为无限的和截断的傅里叶级数。数值结果表明了该方法的高效性。本文主要分为四章:第一章是绪论,我们首先对Chebyshev谱方法的由来和发展历史进行了简单回顾;其次,我们介绍了基函数选取的重要性,并对已有的求解此类问题的谱方法及其基函数的选取进行了简要描述;最后,我们对本文的研究内容和创新点进行了总结。第二章,对文章中涉及的符号以及Chebyshev多项式的相关性质进行了介绍和证明。第三章,针对带Direchlet边界条件的二阶椭圆型边值问题,研究了相应的Sobolev双正交的Chebyshev基函数,由此构建了二阶问题的全对角化的Chebyshev谱方法,并通过数值算例验证了该方法的有效性。第四章,针对带Direchlet边界条件的四阶椭圆型边值问题,研究了相应的Sobolev双正交的Chebyshev基函数,由此构建了四阶问题的全对角化的Chebyshev谱方法,数值算例同样表明了该方法的高效性。