扩散过程起源于物理学,之后引起数学学者们的广泛关注,一直以来是随机分析方向的前沿和热点。如何延续这种扩散过程和其它领域的有机结合,体现交叉效用,拓展扩散过程理论的研究视野,是一个具有理论意义和实际应用价值的研究领域。　　全文的创新性工作如下:　　在第3章中我们研究了扩散过程与随机序理论的交叉。利用扩散过程和条件期望的性质,直接证明了扩散过程随机序的比较定理,包括强序、增凸序、增凹序及Laplace-Stieltjes转移序。然后将随机序方法应用到扩散过程的Fokker-Planck方程中,证实了一类偏微分方程解的弱比较定理。　　在第4章中我们探讨了扩散过程与灰色系统、统计推断的交叉。一方面针对小样本观测值的情形,首次提出了用灰估计的方法来估计随机微分方程中的参数,两者间的桥梁是Ito公式。通过实例表明:与原有的方法相较,参数估计的效果相差不大,但我们所需要的数据信息少,在实际中可操作性强,试验成本低。另一方面给出了一类广义的扩散过程(McKean-Vlasov随机微分方程)的参数估计方法,在一些假设条件下,通过一定的变换,将非时齐的Markov过程变形为时齐的Markov过程。再通过对后者作参数估计进而讨论原方程的参数估计问题,得到了参数的极大似然估计和贝叶斯估计,并证明了它们的性质。　　在第5章中我们讨论了扩散过程与三个应用领域的交叉。首先研究了非高斯噪声对热盐环流的影响,根据噪声的性质将其用一个α-稳定的levy过程描述,建立了随机Stommel模型,再用数值的方法模拟随着α的变动,方程解的平均逃逸时的变化情况,从而得到盐度差的稳定范围。其次,分析了纳米药物进入机体后的吸附过程,引入白噪声项描述随机因素对该过程的影响,建立了纳米药物的吸附动力学模型,并分析了参数的变动对整个吸附过程的影响,用于确定纳米药物的制备参数及指导用药量。最后,针对离子在运动过程中由于自身带电荷,相互间产生电磁场不再做自由扩散这一情况,引入McKean-Vlasov随机微分方程描述离子的运动状况。推导出转移密度满足的非线性Fokker-Planck方程,用数值计算的方法模拟离子运动的轨道变化。