断裂现象始终是与材料和结构中的孔洞、缺口或裂纹相关联的,在材料这种宏观不连续部分最明显的特点是应力分布极不均匀,从而导致应力集中。缺陷(孔洞、裂纹、位错等)和应力集中往往是造成结构破损的重要原因。因此,研究断裂力学问题关键是求解各种复杂缺陷在受力情形下的应力场和确定其裂纹端点处的应力强度因子。复变函数方法是经典弹性理论的基本方法之一,是求解平面弹性与缺陷问题解析解的非常有效的方法。本文第二章通过构造新的保角映射函数,充分利用Cauchy积分公式和解析函数优越性质,研究了无限大体中带双对称裂纹的椭圆孔口、具有不对称共线裂纹的圆形孔口、带单裂纹的椭圆孔口和具有不对称共线裂纹的椭圆孔口问题,在这些复杂缺陷受远处单向拉伸、双向拉伸、剪切应力、反平面纵向剪切作用和孔边及其所带裂纹面上受内压、剪切应力、反平面纵向剪切的作用下,求得了I型、II型和III型裂纹问题的应力强度因子的精确解析解。在极限情形下,所得结果不仅可还原已有的精确解,而且与已有数值结果吻合较好。当孔口的长短半轴、半径和裂纹长度变化时,可以模拟更多的实际模型,如带单裂纹的圆孔、具有双对称裂纹的圆孔、T型裂纹、十字裂纹、半无限平面的边界裂纹等。这些结果在分析工程断裂问题中具有重要意义和应用价值。准晶是近二十年来发现的一种新的固体结构和新材料,其弹性问题的刻画不仅需要描写晶格振动的声子场,还需要刻画原子准周期排列的相位子场,而且二者是相互耦合的。所以,准晶弹性较经典的一般晶体的弹性复杂的多。关于准晶弹性与缺陷问题的研究,前人已提出了一些求解方法,如Green函数法、Fourier变换法和摄动法等,但对准晶弹性的复变方法只在一些最简单的情形下(如一维六方准晶周期平面内的弹性问题)进行了研究。由于各种方法都有各自的优点和局限性,因此,研究准晶弹性的复变方法是必要的。特别是在研究一些复杂缺陷、缺陷间的相互作用和某些复杂的准晶弹性问题上,准晶弹性的复变方法发挥着不可替代的作用。本文第三章发展了经典弹性复变方法和保角映射法,把经典弹性研究过的复杂缺陷问题推广到一维六方准晶中,即具有不对称共线裂纹的圆孔、带双对称裂纹的椭圆孔、带单裂纹的椭圆孔、具有不对称共线裂纹的椭圆孔以及狭长体中非对称裂纹问题,得到了这些复杂缺陷的声子场与相位子场的III型问题的应力强度因子的解析解。这表明,复变方法对解决准晶弹性复杂缺陷问题也是一种非常有效的方法之一。当孔口长短半轴、半径和裂纹长度变化时,可以得到更多的实际模型,如具有不对称共线裂纹的椭圆孔可以还原已有的Griffith裂纹,而且得到带单裂纹的圆孔、带单裂纹的椭圆孔、具有不对称共线裂纹的圆孔、具有双对称裂纹的圆孔、具有双对称裂纹的椭圆孔、T型裂纹、对称十字裂纹、不对称十字裂纹和半无限平面边界裂纹;狭长体中非对称裂纹可以还原已有的狭长体中对称裂纹和无限区域中半无限裂纹问题。仅声子场而言,这些结果与经典弹性的结果完全一致。进一步将经典弹性复变函数方法和保角映射法发展到动力学中,研究了具有椭圆孔的快速传播裂纹问题,并得到了裂纹端点处的动态应力强度因子精确解析解。在极限的情形下,可以得到具有圆孔的快速传播裂纹和T型裂纹快速传播问题。当速度趋于零时,动力学解还原为静力学解。接着又研究了一维六方准晶中若干较复杂缺陷的动力学问题,如一维六方准晶中具有椭圆孔的快速传播裂纹和一维六方准晶狭长体中非对称快速传播裂纹问题,分别得到了其精确解与分析解。在极限情形下,前者可得到一维六方准晶中具有圆孔的快速传播裂纹、一维六方准晶中T型快速传播裂纹和一维六方准晶中半无限平面边界快速传播裂纹问题。而后者可得到一维六方准晶狭长体中对称快速传播裂纹和一维六方准晶无限大区域半无限快速传播裂纹问题。这些模型较之过去仅给出的运动Griffith裂纹更复杂、更一般。因此,所得结果对分析更复杂缺陷的动力学问题提供了理论依据。