【摘 要】
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非线性奇异微分方程在物理学、生理学等许多领域中有着广泛的应用.由于此类方程包含奇异因子,方程解的正则性较低,给理论分析和数值方法的研究造成了极大的困难.非线性奇异微分方程的理论分析与数值方法研究已成为现代数学的热点课题之一,具有重要的科学意义和实际应用价值,本文针对几类非线性奇异微分方程提出了新的混合增广紧有限体积方法.首先,对于一类非线性奇异微分方程,在对解的奇异性质给出精确渐近分析的基础上,我
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非线性奇异微分方程在物理学、生理学等许多领域中有着广泛的应用.由于此类方程包含奇异因子,方程解的正则性较低,给理论分析和数值方法的研究造成了极大的困难.非线性奇异微分方程的理论分析与数值方法研究已成为现代数学的热点课题之一,具有重要的科学意义和实际应用价值,本文针对几类非线性奇异微分方程提出了新的混合增广紧有限体积方法.首先,对于一类非线性奇异微分方程,在对解的奇异性质给出精确渐近分析的基础上,我们提出了一种新型的增广紧有限体积方法.该方法将区间分为带有奇点的奇异区间和剩余的正则区间.在奇异区间,通过恢复方程的解在奇点的Puiseux级数展开式,从而精确地刻画了解的奇异性质,利用一个与奇异性有关的增广变量,在全局区域内构造了新的混合渐近和增广紧有限体积格式,实现了高精度数值求解这类非线性奇异微分方程.证明了该混合方法在L2范数,H1半范数和L∞范数意义下的收敛性并给出了误差阶估计.数值实验验证了该混合方法的有效性和精确性.其次,针对具有重要物理背景的半无界域上的Thomas-Fermi方程,利用解在无穷远处的渐近级数及在零点的Puiseux级数展开式对奇性的刻画,得到自然且精度高的边值条件,进而使得原问题转变为适定问题.由于级数中含有未定的增广变量,进一步构造了增广紧有限体积方法,从而得到了半无界域上Thomas-Fermi方程的高精度数值求解算法.计算结果表明该方法不仅得到了高精度的数值解,而且得到了高精度的初值斜率.特别地,我们发现初值斜率恰好等于Puiseux级数中与奇异性相关的增广变量.初值斜率不仅具有重要的物理意义,而且其计算精准度也成为了衡量算法好坏的一个重要标志.最后,考虑非线性奇异微分方程约束的最优控制问题.使用Lagrange乘子方法,得到该最优控制问题由状态方程,伴随状态方程和变分不等式耦合的KKT方程组.为了克服状态和伴随状态方程是非线性奇异微分方程的困难,构造了混合渐近增广紧有限体积方法,得到了高精度的状态,伴随状态和控制的数值解.数值实验表明该方法稳定可靠,具有较高的计算精度.
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