Banach空间的凸性与光滑性研究是Banach空间几何理论中的重要研究内容之一. Banach空间几何理论的研究是从Banach空间单位球的凸性开始的,由于凸性具有非常鲜明的直观几何意义,凸性的研究吸引了无数的数学工作者,人们详细地讨论了各种凸性的性质和它们在最近逼近以及不动点理论中的应用.光滑性,一方面作为凸性的对偶性质而提出的,另一方面,它与范数(一种特殊的凸函数)的各种可微性质有密切关系,因此也得到了深入的研究.由此可见,Banach空间的几何研究中凸性与光滑性的研究占据着重要地位,而合理引进并讨论与某种凸性具有对偶关系的光滑性(或与某种光滑性具有对偶关系的凸性),对于揭示凸性(或光滑性)的本质和建立凸性与光滑性之间的对偶理论有重要意义.到目前为止,Banach空间的凸性与光滑性研究虽然已比较完善,但是由一些已知的凸性和光滑性直接推广的某些K ?凸性和K?光滑性的研究还不是很完善,本文中进一步探讨了Banach空间中的某些K?凸性与K?光滑性,并研究了它们与已知的K?凸性与K?光滑性的联系,也得到了较好的结果,全文共分为三章.第一章:在本章中,发现了两类新的Banach空间,并给出了其特征刻画,所发现的这两类新空间分别是K ?非常极凸和K ?非常极光滑空间(它们是一对对偶概念),并且分别是非常极凸和非常极光滑空间概念的推广.证明了K ?非常极凸( K ?非常极光滑)空间是严格介于K ?一致极凸和K ?非常凸( K?一致极光滑和K ?非常光滑)空间之间的一类新的Banach空间,并举例说明了K ?非常极凸(K ?非常极光滑)空间和K ?强凸(K ?强光滑)空间之间不存在蕴含关系,证明了K ?非常极凸(K ?非常极光滑)空间蕴涵( K + 1)?非常极凸( ( K + 1)?非常极光滑)空间,但反过来不成立.第二章:自1998年以来,在Banach空间凸性与光滑性研究方面出现了两种K ?极凸概念,虽然它们都是Banach空间的凸性,但它们都不是K?极光滑的对偶概念.在本章中重新给出了合理的K ?极凸概念,说明了它确实是K ?极光滑的对偶概念,并且是严格介于上述两种凸性之间的一种新凸性,还讨论了它的基本性质以及它与其它凸性之间的关系.第三章:本章中引入了平均一致光滑空间,并说明了它确实是平均一致凸空间的对偶概念,给出了它的性质和特征刻画及它与其它光滑性之间的关系.