本文主要讨论退化的椭圆型方程的变号解和拟线性Schrodinger方程的孤立解问题,这些方程有着丰富的数学物理背景。另外还建立了关于边界距离位势函数和一般位势函数的Sobolev-Hardy不等式,创建了新的Sobolev-Hardy空间,得到了新空间中的嵌入定理。本文共分为五章。第一章为绪论,本章涉及本课题研究的理论背景、所用的基本方法和基本引理,以及各问题的背景和研究现状。第二章主要研究一个含临界边界距离位势函数的退化椭圆型方程：借助改进的含边界距离位势函数dα/pp*（x）的Sobolev-Hardy不等式,建立了一个新的Sobolev空间,利用紧性结果和变号解的临界点理论得到方程有无穷多个变号解。第三章考虑了含有一般位势函数φ（x）的退化椭圆型方程：Φ是在（0,+∞）上有定义的一个连续正函数,φ=Φ（-h’/h）2,其中h满足rN-1Φ（r）（h2（r））’=c0,c0为某个常数,h-1（0）=0,在含一般位势函数的Sobolev-Hardy空间中建立了几个嵌入不等式,得到方程有无穷多个变号解。第四章考虑了N=p时的拟线性Shrodinger方程：其中△Nu:=div（|（?）u|N-2（?）u）为N-Laplacian算子且N≥2,h满足N=p时的临界增长条件。根据Lions的集中紧原理、全空间中的Trudinger-Moser不等式以及山路引理得到了方程非平凡解的存在性。第五章考虑拟线性Schrodinger方程：-△u+V（x）u-α△（|u|2α）|u|2α-2u=μ|u|q-1u+|u|p-1u,x∈RN其中V∈C（RN,R+）关于各个变量xk（1≤k≤N,N≥3）具有周期性,a>1/2,2≤q+1<p+1<2α2*：=4αN/（N-2）以及μ>0。提出了一个新的变换,利用没有（PS）条件的山路引理、Lions的集中紧原理证明了非临界和临界两种情况方程孤立解的存在性。在这一章我们还用新的变换考虑了方程：其中V∈C（RN,R+）关于每个变量xk（1≤k≤N,N≥3）具有周期性,证明了当12-4（?）6<r+1<22*时非平凡解的存在性。