【摘 要】
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非线性偏微分方程在描述非线性现象中具有重要的作用,目前已在力学、物理化学、工程技术及大气科学等领域中广泛应用.由于非线性项的存在,使得非线性问题的解析解难以得到或
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非线性偏微分方程在描述非线性现象中具有重要的作用,目前已在力学、物理化学、工程技术及大气科学等领域中广泛应用.由于非线性项的存在,使得非线性问题的解析解难以得到或者难以表述,因此需要构造数值方法来近似求解.在模拟数值实验过程中,设计尽可能保持偏微分方程原有的积分不变量守恒特性的数值格式对于精确地模拟非线性偏微分方程的粒子运动具有重要的物理意义.本文主要研究几类非线性偏微分方程的谱方法,包括广义正则长波(MRLW)方程、耦合Schr?dinger–Kd V方程和二维非线性Schr?dinger方程.具体的研究工作可分为以下三个部分:1. 考虑在周期性边界条件下的MRLW方程的谱方法.首先通过Fourier谱配置点法对该问题进行空间离散,把MRLW方程近似为在配置点上的矩阵形式常微分方程,并证明该形式具有两类半离散守恒定律.接着在时间方向上利用时间指数型Crank-Nicholson差分法,构造了一类基于Fourier谱方法绝对稳定的数值格式,把MRLW方程全离散为关于U(x,t)的非线性方程组,并通过Newton-Rapshon迭代法求解.实验结果表明了所提出的格式在时间方向上具有L_∞意义下的二阶收敛性.2. 研究在周期性边界条件下耦合Schr?dinger–Kd V方程的谱方法.结合Fourier谱配置点法和时间指数型三层隐式差分格式,构造了一类针对耦合Schr?dinger–Kd V方程具有三类半离散守恒定律的耦合隐式数值格式.利用耦合性技术,把全离散格式得到的耦合系统近似为一组非线性方程组,并通过不动点迭代法得到方程的近似解.3. 考虑齐次Dirichlet边界条件下二维非线性Schr?dinger方程的谱方法.基于拉普拉斯算子的空间谱离散和时间指数型Crank-Nicholson差分法,构造了一类在空间上具有谱精度且在时间上具有二阶收敛的算法.并通过数值实验说明了该方法也能有效地模拟奇异解情况.
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