随着介观机电系统、腔光力系统、混合机械系统等技术的发展——尤其向量子区域发展，人们越来越关注对低温区域内材料的声子（机械振动激发）衰减的研究。特别是石英，作为一种压电晶体，能够制成品质因子很高的机械共振器。另一方面，碳纳米管也是近年来理论和实验研究的热点，它的很多物理特性和现象都与声子的衰减有关。在本论文中，我们研究了这两种材料中的声子衰减和品质因子。　　在第二章中，我们提出石英晶体中一个新的声子损耗机制，以解释最近的一个实验结果[M.Goryachev et al.，Phys.Rev.Lett.111，085502(2013)]。在这个实验中，实验者测量了一种基于石英晶体压电效应的体声波腔在低温条件下的品质因子。测量覆盖了从几百MHz到接近1GHz的频率范围。实验发现，在液氮温度及更低的温度下，石英声腔品质因子的频率依赖满足瑞利散射的特征，而且，令人意外的，当温度下降时品质因子有降低的趋势。这些实验结果表明存在一种新的声子衰减机制。在如此低的温度下，非简谐效应导致的声子-声子相互作用不再是主要的声子衰减机制，材料本身的缺陷对声子的散射才是衰减的主要来源。二能级系统——一种动态的缺陷——被认为存在于晶体中的失序部分，因此我们基于一个被广泛研究的声子-二能级系统耦合形式，提出声子-二能级系统弹性散射模型。我们分析了四个弹性散射过程，并根据量子的二阶微扰理论，推导出基于声子-二能级系统弹性散射的声腔衰减率和品质因子的公式。理论推导的结果与实验结果符合:品质因子Q符合规律Q×f3=const（f表示共振声子频率，const表示常数），并且随着温度下降而降低。所以，声子-二能级系统弹性散射模型合理地描述了低温下声腔的损耗，理论同时表明，在石英晶体中大部分二能级系统具有几GHz甚至更高的跃迁频率，导致在实验中频率接近1GHz的声子主要发生弹性散射。　　在论证了声子-二能级系统弹性散射是声子损耗的重要来源之后，为了进一步完善理论模型，我们在第三章中引入声子-静态点缺陷耦合，扩展声子衰减的弹性散射模型。推导的结果表明，如果静态点缺陷弹性散射——相对于二能级弹性散射——占主要地位，品质因子虽然呈现出声子瑞利散射的特征，但并没有温度的依赖性，与实验结果偏离;但如果二能级系统弹性散射对声子损耗有显著的贡献，那么品质因子既呈现出瑞利散射的特征，也具有温度依赖性，且与实验所得的温度变化趋势一致。这是因为声子-二能级系统耦合具有温度依赖性，随着温度下降，导致散射几率增加;而声子-静态点缺陷耦合则相反，不具有温度依赖。此外，本章也分析了二能级系统系综的能隙分布对总品质因子的影响，并且分析了声子-静态点缺陷耦合的贡献情况。研究结果展示了在超低温时非简谐效应受到了限制，而晶体中的缺陷——包括二能级系统和静态点缺陷——导致的声子弹性散射成为声子损耗的主要原因。　　除了石英晶体中的声子衰减，碳纳米管中的声子衰减的研究也受到了广泛重视并在不断地发展。在第四章中，我们根据连续介质弹性模型，推导并研究了碳纳米管中长波长区域的|l|=2（这里，l是角动量量子数）最低能声子分支——被称为C声子模——的衰减率和品质因子公式，而在此前只有|l|=0，1时的情况被考虑到。在长波近似下连续介质弹性模型是适用的，因为此时碳纳米管可看作是一种一维连续弹性介质，而长波长声子在其中自由地传播，直到发生衰减过程。在这个模型中，弹性势能被描述成应变张量的二次项形式，其中既包括了简谐振动项，也包括了线性和非线性耦合项。所以连续介质弹性模型同时描述了简正声子模和三声子散射过程，而后者就是声子-声子相互作用，它导致了碳纳米管中激发的长波声子的衰减。此外，由于C模是一种弯曲声子模式，所以与此前的计算不同，本章的推导和计算需要考虑弹性介质模型中的弯曲效应项。基于上述模型，我们推导了C模的色散关系和极化矢量，以及C模参与三声子过程的耦合公式。首先，对各个声子模的色散关系分析表明，长波C模声子主要发生两个三声子耦合衰减道——包括一个衰变道C→F+F和一个合成道C+C→T。接着，我们计算了C模在零温和有限温度下的品质因子上限。弯曲效应对C模衰减率和品质因子的影响分析表明，对弯曲效应的考虑是必不可少的。之后，本章研究了C声子模豫驰时间（即衰减率的倒数）的波矢依赖性，以及包含这种声子模的热导率。分析表明，在一定条件下，C声子模的衰减对热导率有显著的贡献。　　最后，我们在第五章简短地作出总结，并对未来的工作作出展望。