随着信息技术,尤其是互联网、物联网、云计算的飞速发展,现今人们经常面临种类繁多、体量极大且维数极高的数据,从而如何对这些海量高维数据进行分析并且挖掘出本质的信息引起各领域研究者的兴趣。近年来,以压缩传感为代表的稀疏建模方法以其处理高维数据的有效性受到人们的重视,与之有关的理论和应用也逐渐地成为应用数学、统计学、电子通信工程学以及计算机科学等领域的研究热点。但是,与不断扩增的不同类型的高维海量数据相比,现存的稀疏建模方法不能有效地处理切合实际问题背景的稀疏学习问题,因而导致人们得不到满意的结果。所以,结合应用问题的实际背景建立针对性的稀疏数据方法,并且展开相关的理论和算法研究有着很重要的科学意义。本论文较为系统地研究了块稀疏压缩感知、完全扰动以及噪音折叠下低秩矩阵恢复等的若干理论和算法,主要获得了下面的研究成果:在块稀疏压缩感知背景下,借助于具有块结构多面体的稀疏表示这一基本技术,获得了当0<t<4/3时,基于块限制等距性质的高阶重构条件以及重构的误差估计。同时,构造出一个例子来表明这个恢复保证是最优的。另外,研究了当测量矩阵是高斯随机矩阵时,需要多少测量数它才能以高概率满足这里的基于块限制等距性质（block restricted isometry property）的重构条件。最后,数值实验进一步验证了理论结果以及l₂/l₁极小化方法的有效性。在脉冲噪音背景下,提出一个稳定的模型,得到了最优的恢复保证和相应的重构误差上界估计。同时建立了相应的算法收敛性条件。基于合成块稀疏信号和真实胎儿心电图信号,数值实验结果的表明,在出现高度脉冲噪音时,新算法的重构性能具有鲁棒性和有效性。此外,对于本文考虑的三种脉冲噪音,给出了以高概率成立的l_p范数的界。在完全扰动背景下,扩展了传统的低秩矩阵研究到一个完全扰动的情形,提出一个新的低秩矩阵恢复模型。基于限制等距性质和Frobenius-robust秩零空间性质,获得了重构保证的充分条件以及重构误差的上界估计。尤其是,当本文的结果退化到向量情形时,不仅改进了先前的限制等距性重构条件,而且减小了恢复误差的上界估计。数值实验的结果进一步论证了所提方法的有效性。在噪音折叠背景下,研究低秩矩阵恢复恢复问题。研究结果表明对于压缩感知中使用的大多数测量方案,传统的模型和白化后的模型是等价的,主要的区别是含噪声观测模型的噪音方差扩大了mn/M倍的因式,这里m,n分别表示待重构矩阵的行数和列数,M表示采样数,此外,基于两种零空间性质,分别给出了各自的恢复保证以及重构的误差估计并且获得了满足第一种恢复条件时所需的采样数。另外,对于非高斯噪音情形,进一步探究了它并且给出了相应的恢复保证的理论结果。最后,通过数值实验对所提方法的有效性进行了验证。