平面和空间曲线的运动有着广泛的应用。许多有意思的非线性演化方程都与曲线运动有着密切的关系。特别地,许多可积方程也都自然地产生于曲线的运动。 本文运用对称群的理论来研究几何中的偏微分方程。这种理论,又称为无穷小变换的李方法,被广泛地应用于数学物理中产生的偏微分方程。通过寻找偏微分方程的对称群,我们能得到相应的最优系统以及方程的群不变解。 第一章中,介绍对称群的基本概念,并简单回顾了几何曲线流以及对称群发展的历史。 第二章中,我们主要讨论几何中的偏微分方程。通过研究平面和空间曲线的运动,得出两类WKI方程,并利用李的经典方法,得到相应的李点对称群。 通过对已得方程对称群的研究,我们可以给出其一维最优系统,并根据一维最优系统,把原方程化为常微分方程,得到许多有意思得群不变解,这种对称约化的过程和结果,是本文第三章的主要内容。