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称T是一个树,即不含圈的一维紧致连通的分支流形.任一T的子集被称为T的子树,如果它本身是一个树.任取x∈T,用V(x)表示T-{x}的连通分支的个数.若V(x)≥3,则称x是T的一个分支点;若V(x)=1,则称x是T的一个端点.近年来,许多专家学者研究了树映射的动力学性质,例如ω-极限集的特征、拓扑传递与拓扑混合性、链等价集与湍流、吸引中心与拓扑熵等.本文主要研究树映射的拓扑复杂性,其中涉及到树映射的正拓扑熵与模式熵. 首先,我们讨论了树映射具有正拓扑熵的一些等价条件,具体地,设f:T→T是一个连续映射,我们证明了下述条件等价:(1)f是强混合的;(2)对任意包含两个非稠密的开集构成的开覆盖(U),拓扑复杂性函数C((U))>n,其中C((U))=limn→∞N(∨ni=1f-i((U))),n为T的端点数;(3)f是一致正熵;(4)f是拓扑K系统. 接下来,我们讨论了树映射的模式熵,具体地,设f:T→T是一个连续映射,我们证明了如果f的拓扑熵为零,则T的每个开覆盖(U)的模式熵具有多项式阶.