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在本原矩阵的研究中，对指数γ(A)的估计和指数集En的刻划这两个问题引起了不少人的兴趣.Wielandt[1]在1950年首先给出了n阶本原矩阵的一般性上界γ(A)≤(n-1)2+1，于是En(∈){1，2，…，(n-1)2+1｝.1964年，Dulmage和Mendelsohn[2]揭示了在En中存在着缺数段(gap).
对本原矩阵指数集研究中的另一方面是研究一些特殊的本原矩阵类的本原指数.我国学者在这一领域做出突出贡献，尤其是邵嘉裕先生和李乔先生，他们取得了一些令人满意的结果[3].邵嘉裕先生[4]给出了一个特殊的本原矩阵——对称本原矩阵类的指数集合(E)n={m∈Z+｜存在某个n阶对称本原阵A，使γ(A)=m｝，并且给出了(E)n的完全刻划.在本文中，我们考虑两个特殊的本原矩阵类：
1.对角元为零的几类特殊的n阶本原矩阵类的指数集，记对角元为零的本原矩阵集为Tn0.本文证明了其中某类对角线为零的最小圈长为n-d+1的特殊本原有向图的指数集.这里的d是满足：大于等于2但小于[n/2]的偶数，且gcd(n，n-d+1)=1.
2.n阶竞赛图的本原指数及其分布.特别对n阶强连通竞赛图的本原指数及其分布规律给予证明，还给出了具有某些特性的n阶强连通竞赛图D的本原指数达到其上确界γ(D)=n+2.