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矩阵的广义逆是矩阵理论研究的一个重要课题.1955年R.Penrose利用四个矩阵方程给出矩阵广义逆的定义(现称为Moore-Penrose逆),以及1958年M.P.Drazin在半群和环上给出Drazin逆的定义.自此之后,广义逆理论得到迅速发展,并在许多学科领域有着重要应用.人们分别从复矩阵、Banach空间(Hilbert空间)上的有界线性算子、Banach代数(C*-代数)及环和半群等方向对广义逆展开研究.随着广义逆理论的不断发展,又产生了几类新型广义逆,如Bott-Duffin(e,f)-逆、核逆和对偶核逆及(b,c)-逆.本文主要围绕这些新型广义逆,从环的角度展开研究,得到一些有意义的结果.主要内容如下:第一部分主要研究了环上Bott-Duffin(e,f)-逆.首先利用环上可逆元素给出元素的Bott-Duffin(e,f)-逆存在的充要条件.其次在一定条件下讨论了三个元素乘积的Bott-Duffin(e,f)-逆,建立了乘积paq 的Bott-Duffin(e,f)-逆与 pa 的 Bott-Duffin(e1,f1)-逆和aq的Bott-Duffin(e2,f2)-逆之间的关系.最后作为应用给出了环上2 × 2矩阵的Bott-Duffin(E,F)-逆的存在性和表达式.第二部分考虑了*-环上的核逆和对偶核逆,研究了一定条件下三个元素乘积的核逆和对偶核逆的存在性.作为应用,对两种分块矩阵T=(?)和M=(?),给出了当a是核可逆(或d是对偶核可逆)时和当a可逆时,矩阵T和M的核逆和对偶核逆存在的充要条件和表达式.第三部分主要在半群和环上研究(b,c)-逆.首先,在*-环上给出了(b,c)-逆的刻画和表示,推广了 D.Mosic有关像-核(p,q)-逆的相关结果.其次,在半群上建立了(b,c)-逆和Bott-Duffin(e,f)-逆之间的新关系,即当b,c均为正则元时元素a是(b,c.)-可逆的充要条件是它是Bo(bb-Duffin(bb-,c-c)-可逆的,这里b,c分别为b,c的内逆.然后在一定条件下讨论了三个元素乘积的(b,c.)-逆的存在性,给出paq的(b,c)-逆与a的(b’,c’)-逆之间的关系.最后,作为应用考虑了环上分块下三角矩阵的(B,C)-逆的存性和表达式.特别地,给出了任意环中分块下三角矩阵A的Mary逆的存在性和表达式,此表达式简化了 X.Mary和P.Patricio在Dedekind有限环时的结果.第四部分在环和半群中考虑(b,c)-逆的反序律.首先,在环中给出了(b,c)-逆存在的一些充要条件,并在一定条件下利用群逆给出(b,c)-逆存在的一些表示.其次,考虑了半群上(b,c)-逆的反序律(α1α2)(b,c =α2(b,s)α1(t,c)和多种混合反序律成立的充要条件,推广了H.H.Zhu等人关于Maty逆的相关结果.同时还考虑了一般情况下的反序律(a1a2)(b3,c3)=α2(b2,c2)α1(b1,c1)成立的条件.第五部分在环中引入了一类新型广义逆-单边(b,c)-逆,单边零化(b,c)-逆.这类广义逆可以看作是M.P.Drazin定义的(b,c)-逆和H.H.Zhu等人所定义的单边Mary逆的推广.研究了这类新型广义逆的存在性,双重交换性及广义Cline公式.