关于各种算术函数及特殊数列的性质的研究一直是数论研究的核心内容.1993年，美籍罗马尼亚数论专家Florentin Smarandache在美国研究出版社出版了《只有问题，没有解答!》一书.在书中，他提出了105个关于算术函数、特殊序列等未解决的数学问题及猜想.此后，许多学者进行了深入的研究和探索，取得了很多具有重要理论意义的研究成果.另一方面，由于Dedekind和自身的重要性以及它在其它数论问题中的重要应用，近几年来对此和式的研究一直是数论研究的热点.与此同时，许多学者定义了各种形式的类Dedekind和，对它们进行了合理的、有趣的推广.　　 基于对以上问题的兴趣，本文利用初等及解析的方法，对Smarandache函数及其对偶函数的算术性质进行了研究，从而给出了一些特殊方程的正整数解；定义了一个类Dedekind和，并研究了它的相关性质.具体地阐述为：　　 1.运用初等方法并借助勾股数，研究了一个包含Smarandache函数的特殊方程的可解性，并给出了方程的所有正整数解应满足的条件，解决了M.Bencze提出的问题.　　 2.设n为任意的正整数，φ(n)和S*(n)分别表示欧拉函数与Smarandache对偶函数，利用初等方法研究了方程∑d|nS*(d)=φ(n)的可解性，并给出了方程的所有正整数解.　　 3.定义了一个新的类Dedekind和d(h,p)=p∑1=1aRp(((a)/p))((ah/p))，其中，aRp表示a为模p的二次剩余.并利用初等及解析的方法得出了其与Cochrane和之间的关系以及相关的阶估计.