分数阶微积分作为一种新颖的数学工具,被广泛应用于工程技术和生活中的多个领域,包括物理、化学、生物学、经济学等。分数阶模型能够更准确更有效地模拟一些复杂的传输扩散机制,但是由于分数阶算子具有时间上的记忆性和空间上的非局部性,也增加了分数阶模型求解的难度和模拟的复杂度。许多专家学者已经在分数阶偏微分方程数值求解方面做了一系列工作。目前,利用数值的方法对分数阶模型求解已经趋于成熟。谱方法作为数值方法中的一种,具有高效高精度的特点,但由于谱方法对基函数和初边值条件要求的特殊性,目前利用谱方法解决分数阶偏微分方程的研究还相对较少。本文的主要目的是借助分数阶微积分理论、谱方法、有限差分方法、贝叶斯方法等对几类时间分数阶模型进行数值求解、理论分析及参数估计,包括一维时间分数阶Navier-Stokes方程、一维时间分数阶双相延迟热传导方程、二维时间分布阶Cable方程、二维非线性时间分数阶反常扩散方程、二维非线性时间分数阶对流扩散方程。对上述几类时间分数阶偏微分方程,本文结合有限差分方法和谱方法,研究了方程的数值求解方法及相关的理论分析和应用,完成了相应的稳定性和收敛性分析。率先将贝叶斯方法引入到时间分数阶双相延迟模型的参数估计,对模型参数进行估计,并分析了参数的性质。对于高维模型,将矩阵对角化技术引入到算法的数值实施中,相比于直接运算的方法,提高了运算效率,节约了存储空间。在高维非线性问题的理论分析中,空间网格的构造往往会限制时间步长的选取,这种限制有时是过于严格的,会造成不必要小的时间步长,增加运算时间和存储空间的需求。针对这种情况,我们发展了新的不等式,弱化了理论证明过程中空间网格对时间步长的限制。分数阶算子的奇性导致了分数阶方程解的奇性,在对这类非局部模型进行数值逼近时,收敛精度往往会降低。我们借助两种不同的数值方法,分析了具有非光滑解的二维非线性时间分数阶对流扩散方程,得到了高精度的数值结果。本文的组织结构如下:第一章,简单介绍了分数阶微积分的背景及发展历程,介绍了下文中将要用到的相关定义。然后,简要概述了各章节的主要研究内容。第二章,介绍了满足周期性边界条件的一维时间分数阶Navier-Stokes方程的Fourier谱方法,此模型可以用于湍流、非均匀介质的流动的研究,粘弹性与电磁理论研究等。时间方向上,采用L1有限差分方法,借助分片线性插值近似方程中的Caputo分数阶导数。空间方向上,采用Fourier谱方法进行数值逼近。通过理论分析,证明了数值格式的稳定性和收敛性。借助二维快速Fourier变换,我们给出了详细的算法实施过程。最后通过数值算例来验证理论分析,用表格给出了当参数取不同数值时,时、空方向的误差、收敛阶和CPU时间,图像显示数值解与精确解吻合非常好,说明了我们提出的谱方法是有效的。第三章,介绍了一维时间分数阶双相延迟热传导模型的Galerkin-Legendre谱方法及其参数估计。对模型的导出过程进行简单介绍之后,主要从两个方面对模型进行讨论。首先,考虑正问题的数值求解方法,时间方向采用加权位移Grunwald近似,借助生成函数进行离散,这种方法可以实现2阶收敛精度;空间方向上用Legendre多项式离散,能够达到谱精度。我们给出了相应的稳定性和收敛性分析。此外,基于正问题的全离散格式,本章中引入了参数估计,提出了用贝叶斯方法来估计模型中的四个参数,即两个时间分数阶导数的阶数α和β,温度梯度的延迟时间TT和热通量的延迟时间τq。该方法的主要优点是能同时估计多个参数,且可用于处理非线性问题。最后,给出数值算例,第一小节的数值算例用来验证理论分析的正确性和数值方法的有效性,在数值实验中,给出了精确解和数值解的对比图,可以看到两者的吻合程度很好。表格数据显示,时间方向能够实现2阶收敛。此外,我们还与其他文献中研究的数值格式做了对比,通过比较可知,本章中提出的方法可以通过更少的网格点实现更高的收敛精度,且运算时间相对较短。第二小节的算例验证了参数估计方法的有效性,对参数的分析中,讨论验证了参数估计的结果对迭代初始值和迭代次数是稳定的,估计值与真实值非常接近,且估计结果不受实验数据微小误差的影响。第四章,由于分布阶模型具有更一般的性质,因此比经典模型和分数阶模型更适合用于描述复杂动力系统。分布阶时间微分方程在考虑局部现象时尤其有效。本章针对二维时间分布阶Cable方程,首先利用中点公式,对分布阶Riemann-Liouville时间导数进行离散,从而将所考虑的方程转化为一个多项时间分数阶方程,然后对该方程进行数值求解。时间方向上,采用加权位移Grunwald近似,借助生成函数进行离散,空间方向用Legendre谱方法逼近。证明了数值方法的稳定性和收敛性。在算法实现中,我们给出了详细的矩阵运算形式,并提出借助矩阵对角化方法来解决高维难度和算法复杂度,给出了一般方法和矩阵对角化方法的算法实施过程。最后,通过数值例子来验证本章所提出的方法的有效性。从数值算例的结果可以看到,我们构造的方法在时间方向达到2阶收敛精度,对分布阶的近似格式也达到了2阶收敛精度,空间方向达到了谱精度。第五章,反常扩散模型可以产生各种类型的时间模型,在科学和工程上有非常广泛的应用,可用于描述分形多孔介质中的非均质性。本章主要分析了广义的二维非线性时间分数阶反常扩散模型,我们提出L1/Fourier谱方法进行数值求解,基于分数阶Gronwall不等式,进一步对数值格式的稳定性和收敛性进行分析。在算法实现中,基于二维快速Fourier变换,给出了详细的算法步骤,并采用隐式迭代的方法近似非线性项。最后,几个数值算例验证了方法的有效性。第六章,本章介绍了两种求解具有非光滑解的二维非线性时间分数阶对流扩散方程的数值方法。第一种方法,时间方向采用FCN方法,针对非光滑解的情况,我们引入修正方法;第二种方法,时间方向采用分级网格上的L2-1θ有限差分方法。两种格式空间方向都采用Legendre谱方法。通过借助两种不同类型的分数阶Gronwall不等式,对上述两种数值方法的稳定性和收敛性都进行了理论证明。此外,在分析高维非线性问题时,空间网格的构造往往会限制时间步长的选取,这种限制有时是过于严格的,针对这种情况,我们发展了一个新的不等式,用来弱化时间步长的限制条件。最后通过数值算例,分别借助两种数值格式进行数值实验,验证了本章的理论分析的正确性和数值方法的有效性。第七章,给出了本文的总结和未来可能的研究方向。