非线性数学是非线性科学的一部分,亦为非线性科学的基础,是现代数学研究的主攻方向之一。本文研究内容属于非线性数学范畴,同时与物理、化学、生态学、通过数学模型有一定的交叉,是数学中非线性分析学的研究内容。现代科学技术中的现实系统,通过数学建模,其状态方程一般为代数方程、常微分方程、差分方程或偏微分方程。如果适当地选取状态空间与输入空间为Banach函数空间X与Y,可统一地将状态方程表示为算子方程F(x)=y或F(λ,x)=y,这里F为从X到Y的算子(映射),而F(·,·)为从R×X到Y的算子。对于非线性系统来说,上述方程一股为非线性方程： F(λ,x)=y (0.0.1)如果F与λ无关,且关于x为线性的,则方程(0.0.1)可表示为： Tx=y,其中T∈L(X,Y)为线性算子,如果(i)方程的解存在；(ii)方程的解唯一；(Ⅲ)方程的解关于y连续相依,则称算子方程是适定的。如果上述三条中有一条不成立,则称算子方程为非适定的。非适定数学是近五十年才发展起来的研方向。非适定的非线性算子方程的研究内容主要有分歧、突变、混沌等,而非适定线性算子方程的主要研究内容有算子广义逆理论等。 本文研究了拟线性广义逆与非完全分歧理论及其在偏微分方程中的应用。首先,证明了在线性算子的所有拟线性广义逆集合中,其最佳广义逆不是别的,恰为Moore-Penrose度量广义逆。从而使2000年G.R.Goldstein和J.A.Gokistein得到的结果：“最佳广义逆矩阵就是Moore-Penrose广义逆”成为其实质特例。 其次,将算子广义逆理论与非线性方程的局部分歧理论相结合,解决了非单特征值的广义分歧定理,并应用于扰动方程,为分歧理论的研究提供了新的思路。 最后,研究了Banach空间的解析分歧理论。用Morse引理代替隐函数定理,在没有给定解曲线的情况下,通过F本身在分歧点的条件得到了两支交叉的解非线,从而使Crandall和Rabinowitz的经典解析分歧定理成为其特例。利用新得到的分歧定理研究了小扰动下的非完全分歧,并给出不同的横截条件,对单特征根条件下非线性方程解的局部状态进行了近乎完全的分类。并将获得的结果应用到半线性椭圆方程中。特别是应用非完全分歧理论研究了扰动逻辑型方程在对称区间上的精确多解性问题,得到了精确分歧图。