图论（Graph Theory）是离散数学的一个分支,是研究图的逻辑结构和性质及其应用的科学.4色问题（4CC）号称世界三大难题之一,是图论里著名的问题.美国数学家Birkhoff为解决4CC而最早提出单变量色多项式.其后Whitney对单变量色多项式做了很多卓有成效的工作.德国学者Klaus Dohmen等人在2003年提出一类新的双变量色多项式.这个新的概念不但包含以前的单变量色多项式,还有许多新的,重要的性质尚未为世人所知.而Dohmcn他们此后没有继续研究这个问题：且目前鲜见研究这个问题的其他文献.另外,不久前,国外有些学者,如AivaliotisM.和Baily A.等人,在对根图（网络）的可靠性研究中,成功地运用了色多项式和概率理论相结合的方法,使得这一方法迅速成为有关领域研究的最前沿的方法之一基于进一步研究这个最新的双变量色多项式,并使用色多项式结合概率理论这个新方法,以便作出有较强创新性的研究成果的目的.本学位论文选择新双变量色多项式的理论与应用作为博士论文的选题.目前,对这个问题已经有了一些研究成果（详见后面附录的”博士期间的研究成果”）.本学位论文旨在全面介绍新双变量色多项式的理论研究,以及它结合概率理论在根图（网络）上的最新的应用.具体做法是：先简要介绍图论和单变量色多项式的理论和应用.然后,介绍新双变量色多项式（K. Dohmen）的概念,重点介绍新双变量色多项式的最新研究成果.接着,在介绍了单变量色多项式结合概率理论,在根图（网络）的边的幸存概率的期望值研究进展后,着重阐述了单变量色多项式结合概率理论,在根图（网络）的顶点的幸存概率的期望值研究成果,以及综合考虑了根图的方差以后,使根图整体优化等研究进展.最后,进行了新双变量色多项式结合概率在根图（网络）上的期望值研究,并对各种可能进行了讨论.此外,对4个著名的双变量色多项式集中进行了比较研究.另外,还对单峰猜想进行了部分证明.本学位论文对于新双变量色多项式研究的贡献主要如下：第一,发现了新双变量色多项式计算的减边公式,因减边公式对色多项式的计算是非常有用且高效的.第二,使用格子剖分方法,从图的顶点集合的偏序关系（包含关系）出发,提出两个最基本的mobius反演函数定理（见于第二章的第二,三节）,利用它们便能够表示一切图的新双变量色多项式.从而,另从偏序的观点重新解释了新双变量色多项式的意义.第三,研究了新双变量色多项式在正则q-树和正则q-树整子图问题上的新的应用（见于第四章第一节）.第四,运用色多项式结合概率理论方法,研究了在设边总是不失效,而顶点以一定的概率失效的情况下,整个根图（网络）的还能正常运行的顶点数的期望值问题,得出了重要的减边公式及很多其他的公式.并且,再考虑根图的稳健性（方差）,结合期望,综合探讨了根图的整体优化问题（见第四章第三,四节）.进一步,考虑了根图的边和顶点分别以一定的概率失效时候,整个根图的可靠性问题,即新双变量色多项式的概率应用,得出了一些重要公式（见第四章第二,三节）.第五,对于图论中著名难题-Read猜想（单峰猜想）,作了部分证明,即在图的最小度数不大于2的情况下,认为猜想是成立的（见第一章第五节）.第六,对4个比较著名的双变量色多项式（Tutte, Potts, Matching和Dohmen）,集中进行了比较研究（见第一章第四节）.特别的,或给它们补充了新的证明方法,或给出其减边公式及其证明.本学位论文共分五章.第一章是绪论,简要介绍图论和色多项式的有关内容,包括它们的主要研究方向,发展现状,以及尚未解决的重要问题.第二章是新双变量色多项式的理论.主要是Dohmen等人提出的概念,我们对这个问题的新的研究成果.第三章是单变量色多项式结合概率理论的应用,主要介绍了概率论的理论基础和Aivaliotis和Bailey寸根图的边的幸存概率的期望值研究成果,我们对根图的顶点的幸存概率的期望值研究成果,和考虑了方差后的有关整体优化的研究成果.第四章是新双变量色多项式在正则q-树和正则q-树整子图的新的应用.图的顶点有失效概率和恢复概率时,图的可靠性研究成果.图的顶点和边都有各自幸存概率时,图的可靠性,以及其他的一些可能的讨论.第五章是结论和展望,对全文进行一个总结,对未来的研究方向作一个有益的探讨.