无网格法是一种新的数值计算方法,在一定程度上克服了有限元与边界元等数值方法的网格局限性,在解决冲击、爆破,超大变形、裂纹扩展等问题中具有独特的优势。无网格介点(MIP)法是一种配点型的无网格方法,采用移动最小二乘核近似(MLSc)、移动最小二乘导数近似、介点原理、局部介点近似等,既具有传统配点法的高效性,同时,比传统的配点法的稳定性更好,精度更高。在基于无网格介点法的理论研究基础上,本文将无网格介点法应用于求解断裂力学问题。本文首先从移动最小二乘核近似、移动最小二乘导数近似讨论、介点原理、局部介点近似、方程离散等方面介绍了无网格介点法。采用两个数值算例对无网格介点法的有效性进行了验证,结果表明,无网格介点法求解一般线弹性力学问题,具有较好的数值稳定性以及计算精确性。同时,也验证了无网格介点法在求解奇异性问题上的可行性。本文的主要工作与创新点是,将无网格介点法应用于求解线弹性断裂力学的相关问题。从增强基函数的选取,可视准则的数值实施等方面对无网格介点法进行了改进,提出了采用可视准则处理裂纹面两端不连续性的算法实现;详细阐述并采用数值算例分析比较了J积分法、基于位移的外推法、基于应力的外推法等求解应力强度因子的方法的差异性;通过各种裂纹板的数值算例,计算了裂纹应力尖端的应力场、应力强度因子等,并比较了各种裂纹情况下的应力强度因子系数无网格介点法解与普通配点法解的准确性;对于准静态裂纹扩展问题,模拟了受均匀单向拉伸的中心斜裂纹矩形板的裂纹扩展,并对扩展过程中的应力强度因子系数进行了分析,得到了不同模式下的应力强度因子在裂纹扩展过程中的作用;采用无网格介点法对挡土墙的准静态裂纹扩展进行模拟,得到裂纹扩展过程中的扩展路径的变化,以及每阶段的位移及应力云图,对挡土墙的防护与加固工作具有一定的指导意义。所有数值算例结果表明,本文方法对于线弹性断裂力学问题的求解是可行以及有效的,所得到的结果均具有较好的精度和收敛性。作为本文的附加内容,本文最后还阐述了特解法(MPS)以及最小二乘级数法(MLSS)在求解四阶偏微分方程中的应用,并通过数值算例,对这两种方法的优缺点进行了分析,得到问题域离散点的数目以及基函数的最高幂次数是影响方法精确性以及稳定性的最主要因素。