【摘 要】
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本文主要研究了几类分数阶随机微分方程和随机脉冲微分方程解的存在性、可控性和稳定性.讨论了以下几个问题:（1）1<α<2 阶的Riemann-Liouville型分数阶随机微分方程的解存在与近似可控性;（2）脉冲分数阶微分发展方程解的合理表达式,并将结果应用到一类分数阶脉冲随机泛函微分方程解的存在性和相关控制问题上;（3）非线性分数阶随机脉冲微分方程边值问题极值解的存在性;（4）二阶随机脉冲随机微分
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本文主要研究了几类分数阶随机微分方程和随机脉冲微分方程解的存在性、可控性和稳定性.讨论了以下几个问题:（1）1<α<2 阶的Riemann-Liouville型分数阶随机微分方程的解存在与近似可控性;（2）脉冲分数阶微分发展方程解的合理表达式,并将结果应用到一类分数阶脉冲随机泛函微分方程解的存在性和相关控制问题上;（3）非线性分数阶随机脉冲微分方程边值问题极值解的存在性;（4）二阶随机脉冲随机微分方程的可解性、稳定性.本论文分为六章,具体内容如下:在第一章中,简要介绍了分数阶随机微分方程、随机脉冲系统、控制理论的研究背景和研究意义,对主要问题的研究现状进行分析,并归纳本文的主要工作.在第二章中,介绍了分数阶微积分理论,随机微分方程和非紧性测度理论的基础知识,一些重要的性质、结论以及本文所需要用到的引理、定理.在第三章中,利用Laplace变换及其逆变换结合分数阶算子半群理论给出了一类带有非局部初值条件的1<α<2阶Riemann-Liouville型分数阶随机发展方程mild解的定义,并对解算子的模进行估计,由此推导出其解算子的性质.在此基础上,借助Hausdorff非紧性测度理论,M（?）nch不动点定理,在非紧性条件下研究了方程mild解的存在性.对解形式中出现的It（?）积分,根据Hausdorff非紧性测度的定义并利用对应空间中的距离公式推导了关于伊藤积分的一个新的非紧性测度准则,得到其解存在的充分条件.最后利用控制收敛定理在假设其相应线性系统近似可控的条件下证明了所考虑系统的近似可控性.在第四章中,我们以一般形式的0<α<1阶Caputo型分数阶脉冲微分发展方程为例,总结了该类方程已有的解形式结果.通过举反例说明了已有文献中关于分数阶脉冲微分发展方程解形式的问题所在.接着基于分数阶求导算子及其解算子的定义和特性,提出了一个更合适的脉冲分数阶发展方程弱解的新定义,改进了已有的结论.在此基础上进一步研究了一类具有无穷时滞的脉冲分数阶随机泛函微分方程解的存在性和优化控制问题.在第五章中,我们发展了上下解方法在非线性分数阶随机脉冲微分方程边值问题上的应用.借助Mittag-Leffler函数推导了相应线性系统的解形式,再根据其Green函数的性质、解算子的性质以及随机系统中的锥与半序理论建立了随机脉冲微分方程边值问题的一个比较结论.利用该比较结论和上下解方法结合单调迭代技巧得到了非线性分数阶随机脉冲微分方程边值问题极值解的存在性的充分条件.最后给出了一个例子来说明我们的结果.在第六章中,考虑了具有随机脉冲的二阶中立型随机泛函微分方程mild解的存在性、均方指数稳定性和Hyers-Ulam稳定性.在不必假定系统生成一个紧半群的条件下,运用不动点定理和非紧性测度证明了方程mild解的存在性.然后通过建立一个适合于二阶随机脉冲泛函微分方程的积分不等式,讨论了该方程mild解的均方指数稳定性.接着将Ulam稳定性结论扩展到了随机脉冲随机泛函微分方程上.我们的工作将脉冲随机微分方程的一些已有结果推广到更一般的随机脉冲情形,具有一定的理论意义和实际价值.
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