【摘 要】
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本学位论文属于Brunn-Minkowski理论,致力于研究凸体的几何测度与仿射等周型问题,涉及John椭球体,锥体积测度,锥体积泛函,混合体积和对偶仿射均质积分等主题.第二章通过解决L
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本学位论文属于Brunn-Minkowski理论,致力于研究凸体的几何测度与仿射等周型问题,涉及John椭球体,锥体积测度,锥体积泛函,混合体积和对偶仿射均质积分等主题.第二章通过解决L0混合体积对应极值问题,引入了凸体的对数John椭球体,同时建立了对数John椭球体的表征与锥体积测度迷向性的关系.研究了对数John椭球体体积比,并建立了对数John椭球体的体积比不等式.刻画了一类具有相同John椭球体与对数John椭球体的凸体.第三章引入了混合锥体积测度这个新几何测度与混合锥体积泛函这个新几何量,并证明它们的仿射不变性.建立了体积,混合体积与混合锥体积泛函之间的仿射不等式.第四章利用混合锥体积测度,引入了准Lp混合体积.继续通过解决准Lp混合体积对应的极值问题,引入凸体的混合LpJohn椭球体.研究了混合LpJohn椭球体的包含关系与体积比,并得到了此类椭球体的John包含关系与Ball体积比不等式.第五章通过研究对偶仿射均质积分的一阶调和变分,引入了混合对偶仿射均质积分这一几何量,并证明了它的仿射不变性.继续通过解决混合对偶仿射均质积分对应的极值问题,引入了凸体的截面平均椭球体.证明了截面平均椭球体的仿射不变性与连续性.进一步建立了截面平均椭球体仿射等周不等式.
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