本文系统地发展了一种移动平面的渐近方法.作为应用,我们研究了一类分数阶抛物型方程在单位球和全空间上的正解的渐近对称性和单调性,一类Hamilton-Jacobi方程的正解的渐近单调性;推广了一类分数阶椭圆型方程的反对称函数的Hopf引理,并将之应用于研究一类分数阶Kirchhoff型方程的正解的对称性和单调性.本文共分四章:在第一章中,我们概述本文所研究问题的背景及国内外研究现状,并简要介绍本文的主要工作及相关的预备知识和一些记号.在第二章中,我们系统地发展了一种移动平面的渐近方法,并将之应用于研究分数阶抛物型方程正解的定性性质.我们首先得到了一系列的关键要素,例如渐近狭窄区域原理、各种渐近极大值原理和反对称函数的渐近强极大值原理.然后我们说明了这个新的方法可以怎样被应用于研究分数阶抛物型方程在单位球或全空间上的正解的渐近对称性和单调性.精确地说,考虑如下的方程（?）tu+（-Δ）su=f（t,u）,（x,t）∈Ω×（0,∞）,（E1）其中s∈（0,1）是常数.我们证明了在初值任意的情况下,问题（E1）在Ω=B1（0）或RN中的有界正解都将最终趋向于径向对称的函数.本章的主要结果已发表于（Adv.Math.,377（2021）,107463）.在第三章中,我们利用第二章所发展方法中的构造下解这一重要工具,证明了涉及分数阶椭圆型算子的反对称函数的Hopf引理.此结果推广了 C.Li和W.Chen在（Proc.Amer.Math.Soc.,2019）中的结果,使之可以适用于更广泛的一类非线性项的函数,并极大地简化了证明过程.作为应用,我们将此反对称函数的Hopf引理应用于移动平面法,考虑了如下的分数阶Kirchhoff型方程（a+b∫Rn|（-Δ）s/2u|2dx）（-Δ）su=f（x,u）,u>0,x∈Ω,（E2）这里a≥0,b>0,s ∈（0,1）是常数.当f满足适当的条件时,我们分别证明了方程（E2）在Ω为有界区域或全空间Rn时的解的对称性和单调性.（本章的主要结果已发表在 Comm.Pure Appl.Anal.,20（2021）,1431-1445）.在第四章中,应用第二章所发展的渐近移动平面法,我们研究分数阶Hamilton-Jacobi问题（?）tu+（-Δ）su=H（t,x,u,▽u）,t>0,x∈Rn,（E3）其中s ∈（1/2,1）是常数.当H满足一定的条件时,我们证明了问题（E3）的有界正解在x1-方向存在某种渐近单调性.