低维强关联电子系统是凝聚态物理很重要的一个研究对象。强关联系统包括二维电子气系统，量子自旋系统，高温超导体等。而在低温下对磁场中二维电子气系统的研究发现了许多奇异的物理现象。包括整数量子霍尔效应，更进一步的研究，则发现了不同序列的分数量子霍尔效应。对自旋系统的研究则主要在晶格系统中，例如在具有阻错的kagome晶格结构和三角晶格中。随着计算机技术发展，以及算法研究不断进步，在解决自旋系统的问题时，越来越多的用到数值方法。本文主要内容是用平均场的方法研究二维电子气系统中狄拉克费米子的分数量子霍尔效应，以及用量子蒙特卡罗算法中的SSE算法来研究三角晶格上的XYZ模型。　　由于XYZ模型的各向异性，以及三角晶格的阻错，很难用解析的方法研究其相图情况，在我们的计算中发现，XYZ模型在三角晶格上具有丰富的相图。在没有外磁场时，模型加上量子涨落，在量子涨落很小时会有对角序和非对角序都存在的相出现，对应于波色的超固态。在量子涨落较大时，就会有铁磁相的出现，对应于超流相。加上磁场，在磁场较小时，会出现一个具有-1/6磁化强度的平台，即1/3固体序。在磁场较大时，自旋发生极化，即对应于波色莫特绝缘体。　　对于二维电子气系统，我们主要提出了一个狄拉克复合费米子理论来解决经典复合费米场理论的缺陷。我们提出一个平均场模型，解释了狄拉克费米子基态能激发能隙线性的正比于有效磁场的问题，并表明在我们的理论性，分数量子霍尔效应的粒子空穴对称性得以满足。在现有的数值结果帮助下，我们的理论对Jain的序列大多数情况是适用的。