历史上，在研究Fermat大定理和其它一些问题时，数学家们遇到了某些代数域中的代数整数不能唯一分解的困难.例如6=2·3=(1+√5i).(1-√5i),这两个分解是代数整数6在代数域K=Q（√5）上完全不同的分解.这使得对Fermat大定理等问题的研究变得更复杂.　　 意识到这个问题后，在1845年，Kummer给出了一个新的思想，提出了“理想数”的概念.对代数数域上的所有整数都可以嵌入到某个“理想数”中，这个“理想数”能够唯一分解成若干“素理想数”的乘积.Kummer的“理想数”的概念后来被称为代数数域整数环上的理想.这个思想现在已经发展为一个新的理论，即理想的唯一分解理论.也是现代代数数论与代数曲线理论的基础.　　 设K/Q是有理数域Q的代数扩张，且扩张次数为d.在代数数论对理想的研究中，理想的范是一个非常重要的概念.设α是数域K上的一个非零的整理想，且(O)K是代数数域K的整环.那么整理想α的范定义为(n)α=|(O)K/α|.它可以反映整理想许多的代数性质.　　 我们也可以用解析方法来研究代数数论.类似于Riemannzeta函数，Dedekind引进了一个新的函数，称为Dedekindzeta函数.对于扩张次数为d的代数数域K，它的Dedekindzeta函数(ζ)K(s)定义为(ζ)K(s)=∑α1/(n)αs（(R)s＞1），其中α遍历K上所有的非零整理想，且(n)α表示整理想α的范.　　 用aK(n）来表示K上范为n的整理想的个数，我们可以将Dedekindzeta函数重新写成(ζ)(s)=∞∑n=1aK(n)/ns(Rs＞1）.它实际上是一个第n项系数为aK(n)的DirichletL函数.算术函数aK(n)反映了数域K上的许多的代数性质.许多的数学家对此感兴趣，并作出了大量的研究.　　 Chandraseknaran和Good在文献[4]中证明了算术函数aK(n)是乘性函数，并且满足aK（n）≤(τ)（n）d，其中(τ)（n）是除数函数，且d=[K:Q].　　 很多作者（参见[4]，[5]，[38]，[39]，[42]，[43]，[44]，[46]等）也对其作了深入的研究，给出了aK（n）的均值的渐近估计，并且给出了aK（n）的l次均值估计.　　 本文中，我们讨论算术函数aK（n）在稀疏集上的均值估计，即考虑和式∑n≤xaK（nm）l(0.1)的估计，其中l≥2，m≥2为整数.　　 在第一章中，设K是Q的d次Galois扩张，利用代数数域中素理想分解定理，我们给出了算术函数aK(n)的一种表示方法，构造出相应的L函数，利用分析中的方法，我们可以得到下面的结果　　 定理1.1.设K是Q的d≥2次Galois扩张，且l≥2为整数，当d是奇数时，我们有∑n≤xaK(n2)l=xPm(logx)+O(x1-3/md+6+ε），其中m=(C(d+1，2))l/d，Pm(t)是关于变量t的次数为m-1的多项式，C(m，n)=m!/（m-n）!n!，且ε＞0是任意小的常数.　　 定理1.2.设K是Q的d≥2次Galois扩张，且l≥2为整数，当d是偶数时，我们有∑n≤xaK(n2)l=xPα+β(logx)+O(x1-3/dβ+α+6+ε)，其中α=(C(d/2，1))l，β={(C(d+1，2))l-(C(d/2,1))l}/d，Pm(t)是关于变量t的次数为m-1的多项式，C(m，n)=m!/（m-n）!n!，且ε＞0是任意小的常数.　　 上述定理假设了代数域K是Q的Galois扩张，我们要讨论其它的情况.在第二章中，我们讨论当K不是Q的Galois扩张时，和式(0.1)的估计.　　 设K3是Q三次非正规扩张，由不可约多项式f(x)=x3+ax2+bx+c给出.根据强Artin猜想，以及模形式Fourier系数的若干性质，利用对自守L函数相关的研究方法，我们对和式∑n≤xaK3（nm）(m=2，3)进行估计，得到以下结果定理2.1.对于三次非正规扩张K3，有关系式∑n≤xaK3（n2）=cx+O（x19/27+ε），其中c是常数，且ε＞0是任意小常数.　　 定理2.2.对于三次非正规扩张K3，有关系式∑n≤xaK3(n3)=C1xlogx+C2x+O(x29/37+ε)，其中C1与C2为常数，且ε＞0是任意小常数.　　 令K1与K2分别是两个不同的二次域.记aKi（n）(i=1，2)分别为在二次域K1与K2上范为n的整理想的个数.则它们的Dedekindzeta函数分别为(ξ)K1(s)=∞∑n=1aK1(n)/ns（Rs＞1），(ξ)K2(s)=∞∑n=1aK2（n）/ns（Rs＞1）.　　 在第三章中，我们研究不同代数域上Dedekindzeta函数的系数乘积的均值估计，即关于卷积和∑n≤xaK1(nj)laK2(nj)l(j=1,2;l=1,2,3，…）的渐近估计.得到如下结果　　 定理3.1.设Ki=Q（√di）(i=1，2)是判别式为di的二次域，且(d1，d2)=1.那么对任意的ε＞0与整数l≥2，可以得到∑n≤xaK1（n）laK2（n）l=xPK1,K2(logx)+O(X1-3/4l+ε)，其中PK1，K2表示秩为4l-1-1的多项式.　　 定理3.2.设K=Q（√di）(i=1，2)是判别式为di的二次域，且(d1，d2)=1.那么对任意的ε＞0与整数l≥2，可以得到∑n≤xaK1（n2）laK2（n2）l=x(P)K1，K2(logx)+｛O（x1-3/10+ε），其中l=1O(x1-3/9l+ε)，其中l≥2.其中(P)K1，K2表示秩为M2+2M的多项式，且M=(3l-1)/2.　　 我们还讨论了代数数域K上的k维除数问题.定义(τ)Kk（n）=∑n(a1a2…ak)=n1，其中ai(i=1，2，…，k）为代数数域K上的非零整理想，且k≥1为整数.对有理数域Q上的Galois扩张，我们研究了和式∑n≤xτKk（n）=∑n(a1a2…ak)≤n1在稀疏集上的分布.　　 在第四章中，我们得到以下结果　　 定理4.1.令K是关于Q的d≥2次Galois扩张，当d是奇数时，我们可以得到∑n≤x(τ)Kk(n2)=xPm(logx)+O(x1-3/md+6+ε),其中k≥2是整数，m=(k2d+k)/2，Pm(t)是关于变量t的m-1次多项式，且ε＞0是任意小的常数.　　 定理4.2.设K是二次域，且k≥2为整数.则∑n≤x(τ)Kk(n2)=xPm(logx)+O(x1-3/k2+m+2+ε),当k≥3，我们可以得到更精确的余项∑n≤x(τ)Kk（n2）=xPm(logx)+O(x1-3/k2+m+ε)，其中m=k2+k，Pm(t)是关于变量t的m-1次多项式，且ε＞0是任意小的常数.