【摘 要】
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双曲方程是非线性偏微分方程研究领域的重要研究内容.带有粘弹性项和阻尼项的非线性双曲方程在材料学、物理学、工程学等应用学科中具有广泛的应用.对它的研究必将促进非线性理论与其它学科的进一步发展.本文主要对几类非线性双曲方程（组）解的局部存在,整体存在,衰减和有限时间内爆破的性质进行了研究.第一章,我们介绍了双曲方程解的衰减性与爆破性研究的历史与现状及本文的主要工作.第二章,我们介绍了在论文中用到的函数
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双曲方程是非线性偏微分方程研究领域的重要研究内容.带有粘弹性项和阻尼项的非线性双曲方程在材料学、物理学、工程学等应用学科中具有广泛的应用.对它的研究必将促进非线性理论与其它学科的进一步发展.本文主要对几类非线性双曲方程（组）解的局部存在,整体存在,衰减和有限时间内爆破的性质进行了研究.第一章,我们介绍了双曲方程解的衰减性与爆破性研究的历史与现状及本文的主要工作.第二章,我们介绍了在论文中用到的函数空间、性质定理和一些不等式.第三章,我们研究了在粘弹项、弱阻尼项和源项相互作用下的一类粘弹性波动方程的初边值问题.当松弛函数和问题中的参数满足一定的条件时,通过构造与修正的能量泛函等价的Lyapunov泛函,应用能量扰动的方法结合不等式技巧,我们证明了解的能量和松弛函数有一致的衰减性.第四章,我们考察了一类具有线性弱阻尼、强阻尼和源项的粘弹性波动方程的初边值问题.首先,我们应用压缩映射原理分析了问题局部解的存在唯一性.其次,在初始能量为负或有界正的假设下,我们得到了解在有限时间内发生爆破的充分条件.最后,应用位势井理论我们证明了解的整体存在性,并且应用能量扰动的方法结合不等式技巧得到了解的能量的一般衰减形式.第五章,我们讨论了一类带有非线性弱阻尼项和耦合源项的粘弹性波动方程组的初边值问题.首先,对松弛函数和问题中的参数做适当的假定,应用位势井理论我们证明了解的整体存在性.其次,通过引入恰当的Lyapunov泛函,应用能量扰动的方法结合微分不等式技巧得到了解的能量的一般衰减结果.最后,在任意正的初始能量假设下,通过构造适当的辅助函数,应用反证法我们证明了解在有限时间内发生爆破.第六章,我们研究了具有色散项、非线性弱阻尼项和耦合源项的粘弹性波动方程组的初边值问题.在对松弛函数与问题中的参数做恰当的假定和限制下,我们得到了解在初始能量小于零的情况下发生爆破的充分条件.第七章,我们对本文的研究内容进行了总结并提出了即将研究的内容和方向.
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