不等式早就在各个数学领域里发挥着重要的作用,这是人所共知的。利用Jensen不等式是证明对称不等式的一个重要的方法。而Jensen不等式要求的条件很苛刻:必须是凸(凹)函数。然而我们遇到的很多又不能判断其凸性,特别是对于多元函数,就不能利用Jensen不等式,但它取最值的情况又与利用Jensen不等式的时候一样。这就促使我们想办法将利用Jensen不等式的方法做出推广,使能对这些不等式进行统一的证明。利用控制不等式及Schur-凸(凹)函数恰好能解决这样的问题。由于控制不等式本身也是由一系列不等式来定义的,我们也就可以由控制不等式的一些性质来证明不等式。本文从初等数学中的不等式(尤其是在中学数学竞赛当中的不等式)出发,详细讨论了用控制不等式的方法来证明一些不等式或做出一些推广。第一章“控制不等式的基本定义和定理”是控制不等式的基础理论,主要讨论控制不等式的基本性质,以及控制不等式的各式各样的丰富多彩的等价条件。第二章“Schur-凸函数的基本定义和定理”主要是控制不等式在凸函数、Schur-凸函数中的基本运用,以便于在论文后面部分应用。第三章列举了关于控制不等式方法的一些比较好的结论,大部分结论是作者自己的研究成果。其中对函数F(x,y) = [f(y) - f(x)] / [g(y) - g(x)] Schur-凸性的充分或必要条件进行了探讨,另对形如F(x,y,z) = f (x,y) + f (y,z) + f (z,x)及其n元推广形式这类“拟初等对称函数”的性质做了一些讨论,并用这些结论得到了一系列新的三角形不等式。最后在第四章详细讨论了控制不等式在初等数学中的应用。首先从控制不等式在三角形中应用谈起。由于控制不等式的应用能公式化地从三元函数推广到n元函数的情形,有了三元函数的铺垫,我们就能很快地将这种方法运用到代数不等式当中。而从方法层面上来讲,我们在讨论三角函数不等式的时候主要从一般的强控制方面来讨论,作为方法的补充,在谈关于三角形边的不等式以及代数不等式的时候会从弱控制方面来讨论。如同控制不等式可以公式化的推广到n维情况一样,我们也可以利用控制不等式把排序不等式推广到了n对数组,就得到了微微对偶不等式。控制不等式的初等应用,目的在于显示控制不等式这样一个特色,即能用一种统一的方法方便地推导出大量的已知的不等式,同时也顺便得到或者发现新的不等式。本文也充分体现了控制不等式的这一特色,运用其理论得到了一些新的不等式(见4.80—4.99),这些不等式都是之前未曾出现的。