本文运用 Seibei-Witten 理论和等变K-理论、G-index定理(G-signature公式、G-Spin定理)以及Lefschetz不动点公式等工具，深入研究了四维流形上的有限群作用，研究主要包括以下内容：1.四维流形上的光滑有限群作用；2.椭圆曲面上的局部线性伪自由作用. 第一章介绍了Seiberg-Witten 理论及其应用，同时介绍了国内外学者在Seiberg-Witten理论的研究及应用中所取得的主要成果. 第二章给出了本研究工作所需要的一些预备知识，主要介绍了Seiberg-Witten不变量的基本理论，并介绍了Seiberg-Witten理论的有限维逼近技巧、流形上的有限群作用、群表示论以及等变 K-理论等基础知识. 第三章运用 Seiberg-Witten 理论的有限维逼近技巧和等变 K-理论等工具，研究了Spin 4-流形 X上分别存在光滑交错群 A<,5>、循环群A<,6>和奇型三阶对称群S<,3>作用时，X 的拓扑限制问题，在群作用下改进了Furuta 的 8/10 定理.特别地，在 Spin 4-流形具有非交换群A<,5>作用时，得到了：若X为光滑的具有非正符号差的Spin 4-流形"